Интересна комбинаторика( За мен! :) )

[inveidar]

zzzz.png (56.55 KiB) Прегледано 1383 пъти

Намерете броя на правоъгълниците, страните на които лежат по линиите на фигурата, като функция на $n$.

[ABK]

Отговор:

[tex]\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}[/tex]

Решението е в приложения файл.

[inveidar]

Отговор:

[tex]\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}[/tex]

Решението е в приложения файл.

Просто перфектно решение и начин на записване! Голямо БРАВО от мен.

[drago]

Да, решението е хубаво. Но, ако искаме да видим по-дълбоката причина защо този брой е точно $\binom{n+3}{4},$ може да се подходи така. Продължаваме малко крайните бедра на външния триъгълник и получаваме хоризонтално наредени $n+2$ точки. Произволни четири от тези точки $a_1<a_2\le a_3<a_4$ определят еднознчано правоъгълник от нашия вид - виж картинката.

Освен товa, на всеки такъв правоъгълник съотвестват набор $a_1<a_2\le a_3<a_4$. Забележете, че е възможно $a_2=a_3$. Това съотвествие е взаимно еднозначно и от нас се иска да преброим възможните набори от естествени числа
$$1\le a_1<a_2\le a_3<a_4\le n+2 \quad (*)$$
Тъй като е възможно $a_2=a_3$ не можем да подходим съвсем директно. И така, прави се един известен трик (не съм го измислил аз). На набора $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ подчиняващ се на $(*)$ съпоставяме набора $(b_1,b_2,b_3,b_4)$ така: $b_1=a_1; b_2=a_2, b_3=a_3+1,b_4=a_4+1$. По единия набор може да се възстанови другия, така че това съпоставяне е биекция. Освен това $(b_1,b_2,b_3,b_4)$ са всевъзможните намбори, за които
$$1\le b_1<b_2<b_3<b_4\le n+3$$
Техният брой очевидно е $\binom{n+3}{4}$.

[drago]

Пуснах я също тук. На някой може да са му интересни и други решения.

[inveidar]

Драго, твоето решение също е много добро, но да беше споменал в Арта, че задачата е моя?! Още не е късно да се поправиш, ако трябва да сме коректни, нали?
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=3338675592809458&set=g.582118695297310&type=1&theater&ifg=1
Тук собственика на сайта постави въпроса за триизмерния вариант, който също се решава по подобен начин.

[drago]

O, ама нямаше начин да знам, че задачата е твоя. Просто трябваше да го напишеш! Казвайте ги тези неща! Поправих се. Ако трябва мога още нещо да добавя като линк. Тази задача я коментирах също и в блога ми. Защото ми хареса, а ми хареса защото леко парадоксално крайният отговор има друг смисъл и не се вижда пряката връзка защо е така. И там ще се поправя.

[inveidar]

O, ама нямаше начин да знам, че задачата е твоя. Просто трябваше да го напишеш! Казвайте ги тези неща! Поправих се. Ако трябва мога още нещо да добавя като линк. Тази задача я коментирах също и в блога ми. Защото ми хареса, а ми хареса защото леко парадоксално крайният отговор има друг смисъл и не се вижда пряката връзка защо е така. И там ще се поправя.

Ами да, то и на мен точно това ми хареса, но сега вече, благодарение на твоето решение, разбрах връзката!