Малко анализ

[ins-]

Има една задача в списание "Математически форум", на която така и не съм видял пълно решение.
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=301803
Тук съм я пускал, но не мога да конвертирам tex-a. Ако може някой да я пренесе много ще
му бъда благодарен.

[Martin Nikovski]

Нека [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са положителни числа. [tex]{a_n}[/tex] and [tex]{b_n}[/tex] са числови редици, зададени с правилото:
[tex]a_n = \begin{cases}a \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cyr{pri}\ n = 0 \\ \frac {a_{n - 1} + b_{n - 1}}{2}\ \ \ \cyr{pri}\ n\geq1\end{cases}[/tex] и [tex]b_n = \begin{cases}b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cyr{pri}\ n = 0 \\ \sqrt {a_{n - 1}b_{n - 1}} \ \ \ \ \cyr{pri}\ n\geq1\end{cases}[/tex]
a) Докажете, че редиците са сходящи.
б) Ако границите им са съответно [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex], намерете:
[tex]\lim_{n\to\infty }(a_1 + a_2 + ... + a_n - n\alpha)[/tex] и [tex]\lim_{n \to \infty }(b_1 + b_2 + ... + b_n - n\beta)[/tex]
Надявам се, че така е добре разбираемо...

[ferry2]

Нека [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex] са положителни числа. [tex]a_n[/tex] и [tex]b_n[/tex] са редици дефинирани по следния начин:

[tex]a_{n}=\begin{cases}a, & n = 0;\\ \frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}, & n\geq1\end{cases}[/tex] и [tex]b_{n}=\begin{cases}b, & n = 0;\\ \sqrt{a_{n-1}b_{n-1}}& ,n\geq1\end{cases}[/tex]

а) Докажете, че редиците са сходящи
б) Ако [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] са техни граници, намерете:

[tex]\lim_{n\to\infty }(a_{1}+a_{2}+...+a_{n}-n\alpha)[/tex] и [tex]\lim_{n\to\infty }(b_{1}+b_{2}+...+b_{n}-n\beta)[/tex]

[ins-]

Никой ли не може да я реши?!

[ins-]

Намерих решение на задачата. Ако някой проявява интерес мога да дам упътване.
За сега мога да кажа, че [tex]\alpha=\beta[/tex], а границите от б) са равни на 0.

[mkmarinov]

Че са сходящи е ясно. [tex]a_n \ge b_n[/tex] от СА-СГ.
[tex]a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2} \le \frac{a_{n-1}+a_{n-1}}{2}=a_{n-1}[/tex]
Намаляваща и ограничена отдолу (от нулата) => е сходяща.
[tex]b_{n}=\sqrt{b_{n-1}a_{n-1}} \ge b_{n-1}[/tex] - растяща, но отгоре е ограничена от [tex]a_n[/tex].

[ins-]

И б) не е сложна.

[ins-]

За решението може да се ползва теорема на Коши, която би могла да се докаже с теорема на Щолц. Има я в прикачения файл.

[mkmarinov]

"Теорема на Коши" е доста широко понятие .

[ins-]

За да го стесним - 13) от прикачения файл.
Не случайно майката на Коши е една от най-споменаваните жени в математиката сред студентите.

[L.e.o]

За да го стесним - 13) от прикачения файл.
Не случайно майката на Коши е една от най-споменаваните жени в математиката сред студентите.

Докато учихме МА 1, и при поредната теорема на Коши, коментарите бяха "Пак ли тоя бе!".