Аналитични функции

[Гост]

Здравейте, някой може ли да ми обясни по простичко как се решават този тип задачи? Имам и една примерна решена, но не разбирам какво става, освен първоначалното намиране на частните производни.

Коши-Риман.pdf

(569.07 KiB) 173 пъти

[Sup3rlum]

Не мога да отворя пдф-а за жалост и не знам защо. Съжaлявам ако повтарям нещо което вече е писано.

Първо да започна като дефинирам какво представлява една комплексна функция:

$f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)=w$

Уравненията на Коши-Риман гласят, че една функция $f(z)=u+iv$ е аналитична само когато:
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$
$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

Този тип задачи ти дават $u$ или $v$ и трябва да намериш съответстващите им части, като се опитваш да ги съставиш според тези уравнения по-горе, и началните стойности зададени.

За по-прегледно, частичните производни ще ги обозначавам така: $\frac{\partial u}{\partial x}=u_x$.

Ако започнем с първата задача:
$u=x^2-y^2+2xy+3x$
$u_x=2x+2y+3$
$u_y=-2y+2x$

Използваме уравненията горе на Коши-Риман с интегриране:

$u_x=v_y$
$u_y=-v_x$

$\int u_x dy = \int v_y dy \Rightarrow \int 2x+2y+3 dy = v$
$\int u_y dx= -\int v_x dx \Rightarrow \int 2x-2y dx = -v$


$v=2xy+y^2+3y+C(x)$
$-v=x^2-2yx+K(y)$

Тук трябва обаче да отбележа - тъй като частичната производна спрямо $x$ превръща всички свободни членове с $y$ в 0, след интеграцията трябва да се добави $K(y)$ като константа спрямо $x$, но функция спрямо $y$, и аналогично ни трябва $K(y)$. След това трябва да приравним и да разгледаме $C(x)$ и $K(y)$.

$2xy+y^2+3y+C(x)=2xy-x^2+K(y)$

$y^2+3y+x^2=K(y)-C(x)$

$K(y)=y^2+3y$
$C(x)=-x^2$

$\Rightarrow v=y^2-x^2+2xy+3y+C$

Както споменах за по-горната точка, трябва да се добави отново $C$, но като константа спрямо $x$ и $y$. Това следва просто от интеграцията.
И накрая, имаме начална стойност на $w=u+iv$:

$w(0)=w(0+0i)=w(0,0)=x^2-y^2+2xy+3x+i(y^2-x^2+2xy+3y+C)=i$
$\Rightarrow w(0)=0+i(0+C)=i$
$\Rightarrow C=1$

Накрая получаваме $f(x,y)=x^2-y^2+2xy+3x+i(y^2-x^2+2xy+3y+1)$

Втората се решава по същия начин, само че вместо $u$ търсим $v$.

[Гост]

Накрая не трябва ли да се запише като функция на $z=x+iy$?

[Добромир Глухаров]

$w=(1-i)z^2+3z+i$

[Sup3rlum]

Накрая не трябва ли да се запише като функция на $z=x+iy$?

Хмм да, извинявам се, явно четивото ми по complex analysis има някаква липса на конвенционалност