Няколко задачи

[Гост]

Здравейте, може ли да ми помогнете със следните задачи. ( ит теоретичен изпит са по диференциално и интегрално смятане)

[Петър Евгениев]

За теоремата на Нютон-Лайбниц, ти предлагам да прочетеш това. Написах го скоро, и съответно не гарантирам. Но проверявах математиката е ОК.

Newton_Leibniz and friends D.pdf

(214.51 KiB) 111 пъти

И понеже не е много културно да слагаш нещо, без да пишеш използвана литература, пък не съм писал.
Използвал съм кажи речи всички български учебници по анализ + някои неща са от интернет. С лек twist в някои доказателства от мен.(обясненията тоест)
Учебниците на Сендов, Леви, Дойчинов.(има ги в интернет някои отт тях на pdf)

[vezni]

Относно границите ... методите са разнообразни. Един начин е правилото на Лопитал. Давам пример с първата границата (която би трябвало да е при [tex]x\to 0[/tex] с [tex]x>0[/tex], понеже интегралът [tex]\int_{-\varepsilon}^1\frac{\cos t}{t^2}\,dt[/tex] няма смисъл).
[tex]\left(\int_{x}^1\frac{\cos t}{t^2}\,dt\right)'=\left(-\int_{1}^x\frac{\cos t}{t^2}\,dt\right)'=-\frac{\cos x}{x^2}[/tex] за [tex]x>0[/tex]. Като приложим правилото, се получава

[tex]\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}x\int_{x}^1\frac{\cos t}{t^2}\,dt=\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}\frac{\int_{x}^1\frac{\cos t}{t^2}\,dt}{\frac 1x}=\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}\frac{-\frac{\cos x}{x^2}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}\cos x=1[/tex]
Естествено трябва да са изпълнени условията на правилото на Лопитал. В случая [tex]\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}\int_{x}^1\frac{\cos t}{t^2}\,dt=\infty[/tex]. Това следва от факта,
че [tex]\frac{\cos t}{t^2}>0[/tex] за [tex][x;1][/tex] и [tex]\int_0^1\frac{\cos t}{t^2}\,dt[/tex] е разходящ (оставям на теб да провериш разходимостта).
По същия начин можеш да решиш останалите 2 граници, като провериш, че условията на правилото на Лопитал са изпълнени.