СУ'10.04'11

[ganka simeonova]

Ето ги и задачите:

[man_utd1992]

Може ли някой да напише доказателство за четвърта задача. Дразня се, че във сайта на СУ и в трите решения само е споменато, едва ли не като нещо, което е очеизвадно, че равностранните триъгълници са 5...
Моята логика е, че централният ъгъл е 24 градуса, следователно вписания е 12 градуса, следоветелно през 5 върха ще има ъгъл 60 градуса, но другите 2 върха също ще са през 5 върха, следователно ще имаме равностранен триъгълник и тъй като върховете на многоъгълника са 15, то равностранните триъгълници са 15/3=5 ..
Наистина ще съм доволен, ако някой си направи труда да даде по-подробно обяснение на задачата, дори и за симетрията на диагоналите на многоъгълника ...

[HorusEye]

Аз не можах да направя петнадесетоъгълник и затова направих окръжност с 15 точки. Писах следното. Когато триъгълникът е равнобедрен и върху дъгата съответстваща на основата(която се пада хорда в окръжността) няма точки имаме 15 триъгълника. После пак по същия начин, но с 2,6,8,10,12, които лежат на дъгата пак по петнадесет, а когато са 4 точки, триъгълникът е равностранен и има само 5. За съжаление тия последните 5 не ги предвидих, че ще съвпадат. И аз не се сещам за математическо обяснение освен броенето.