Да се намерят стойностите на параметъра λ произведението

[pandora]

Здравейте!
Може ли някой да помогне с решаване на тези задачки?

[peyo]

Зад.3
Да се намерят стойностите на параметъра λ , за които произведението на два от корените на уравнението
$x^4+4x^3+9x^2+8x+ λ =0$
е равно на произведението от другите два корена.

Ако произведението на 2 корена е равно на другите 2 корена то това уравнение ще е еквивалентно на произведението на 2 параболи на които последния член е еднакъв (в нашия случай това ще е $b$):

$x^4+4x^3+9x^2+8x+ λ = (x^2+ax+b)(x^2+cx+b)$

$x^4+4x^3+9x^2+8x+ λ = x^{4} + c x^{3} + a x^{3} + a c x^{2} + 2 b x^{2} + b c x + a b x + b^{2}$

$x^4+4x^3+9x^2+8x+ λ = x^{4} + (c + a )x^{3} + (a c + 2 b )x^{2} + (b c + a b) x + b^{2}$

[tex]\begin{array}{|l} c + a = 4 \\ a c + 2 b = 9 \\ b c + a b = 8 \\ b^{2} = λ \end{array}[/tex]

Това което направихме дотук е че се опитваме да разложим полинома на две параболи по метода на неопределените коефиценти.

Сега тази система изглжежда доста сложна и ако трябва да я решим много ще се измъчим сигурно, затова ние няма да я решаваме или по-скоро няма да я решаваме цялата, защото на нас ни трябва само $b$! Първото уравнение умножаваме по $b$ и изваждаме с третото:
$c + a = 4$
$bc + ab = 4b$
-
$b c + a b = 8$

$0 + 0 = 4b -8$
$8/4= b$

$b = 2$

$b^{2} = λ$
$λ=4$

Готово! Търсения полином е:

$x^4+4x^3+9x^2+8x+ 4 =0$

С което задачата е решена.

Да проверим:

In [88]: R=solve(x**4 +4*x**3 +9*x**2 +8*x +4)

In [90]: simplify(R[0]*R[1] - R[2]*R[3])
Out[90]: -sqrt(-5 + 4*I) + sqrt(-5 - 4*I) + I*sqrt(-5 + 4*I)/2 + I*sqrt(-5 - 4*I)/2

In [91]: simplify(R[0]*R[2] - R[1]*R[3])
Out[91]: -sqrt(-5 + 4*I) - I*sqrt(-5 - 4*I)/2 + I*sqrt(-5 + 4*I)/2 - sqrt(-5 - 4*I)

In [92]: simplify(R[0]*R[3] - R[1]*R[2])
Out[92]: 0