Определен интеграл

[Гост]

Здравейте, моля за малко помощ със следната задача:

[tex]\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{7 + x + x^3}{2 - |sin7x|} dx[/tex]

[Гост]

Извинявам се за грешката. В числителя е 7 + x - x^3

[Nathi123]

Ако направим смяна sin7x=t,тогава t=[tex]\frac{1}{7}[/tex]arcsint. Границите на интегриране стават равни на 0 и търсеният интеграл е равен на 0.

[Knowledge Greedy]

Подходът не е добър и отговорът не е толкова
Ако подинтегралната функция беше нечетна - да, но тя не е такава.

[kmitov]

[tex]\int_{-\pi}^\pi \frac{7+x-x^3}{2-|\sin 7x|}dx = \int_{-\pi}^0 \frac{7+x-x^3}{2-|\sin 7x|}dx + \int_0^\pi \frac{7+x-x^3}{2-|\sin 7x|}dx[/tex]
[tex]= \int_{-\pi}^0 \frac{7+x-x^3}{2+\sin 7x}dx + \int_0^\pi \frac{7+x-x^3}{2-\sin 7x}dx[/tex]

В първия интеграл полагаме [tex]x=-x[/tex] и след прости сметки се получава интеграла

[tex]\int_0^\pi \frac{14}{2-\sin 7x}dx=2\int_0^\pi \frac{d(7x)}{2-\sin 7x}=2\int_0^{7\pi} \frac{dt}{2-\sin t}[/tex]

Този може да се сметне с [tex]tg \frac{t}{2}=u.[/tex]

[Nathi123]

I1.PDF

(1.2 MiB) 102 пъти

Да заблудила съм се,че подинтегралната функция е нечетна. Изпращам решение с прикачен файл.

[Nathi123]

I2.PDF

(1.13 MiB) 108 пъти

[Nathi123]

Функцията y=sin7x е периодична с период T=[tex]\frac{2\pi}{7}[/tex],затова за да се освободим от знака на модула , трябва да се сведе до интегриране в интервал[-[tex]\frac{\pi}{7}[/tex],[tex]\frac{\pi}{7}[/tex]].

[Гост]

Много благодаря на всички, разбрах го! :)

[Гост]

Малко помощ с тази задача. Да се пресметне определения интеграл:
[tex]I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{(2+sinx)^{2}}[/tex]
Мерси предварително

[Добромир Глухаров]

Универсалната субституция [tex]tg{\frac{x}{2}}=t[/tex] и се получава [tex]2I=\int_0^1\frac{1+t^2}{(1+t+t^2)^2}dt[/tex] - оттук вече с разлагане на елементарни дроби, ама е малко дългичко. Може би има по-кратък начин с използване свойствата на подинтегралната функция в разглеждания интервал, но на мен не ми хрумва такъв.