Базплатна програма за решаване на интеграли

1. Има няколко начина да решим интегралът.

   Метод #1

   1. Представяме подинтегралната функция:

      [tex]\frac{x + 1}{\left(x + 2\right) \left(x^{2} + 1\right)} = \frac{x + 3}{5 x^{2} + 5} - \frac{1}{5 x + 10}[/tex]

   2. Интегрираме почленно

      1. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

         [tex]\int \frac{x + 3}{5 x^{2} + 5}\, dx = \frac{1}{5} \int \frac{x + 3}{x^{2} + 1}\, dx[/tex]

         1. Представяме подинтегралната функция:

            [tex]\frac{x + 3}{x^{2} + 1} = \frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{3}{x^{2} + 1}[/tex]

         2. Интегрираме почленно

            1. Нека [tex]u = x^{2} + 1[/tex].

               Тогава нека [tex]du = 2 x dx[/tex] и заместваме [tex]\frac{du}{2}[/tex]:

               [tex]\int \frac{1}{2 u}\, du[/tex]

               1. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

                  [tex]\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du[/tex]

                  1. Резултатът е: [tex]\ln{u}[/tex]

                  Така, резултатът е: [tex]\frac{1}{2} \ln{\left (u \right )}[/tex]

               Сега заместваме [tex]u[/tex] обратно в:

               [tex]\frac{1}{2} \ln{\left (x^{2} + 1 \right )}[/tex]

            1. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

               [tex]\int \frac{3}{x^{2} + 1}\, dx = 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx[/tex]

               1. Интегралът от [tex]\frac{1}{x^{2} + 1}[/tex] е [tex]\operatorname{arctg}{\left (x \right )}[/tex].

               Така, резултатът е: [tex]3 \operatorname{arctg}{\left (x \right )}[/tex]

            Резултатът е: [tex]\frac{1}{2} \ln{\left (x^{2} + 1 \right )} + 3 \operatorname{arctg}{\left (x \right )}[/tex]

         Така, резултатът е: [tex]\frac{1}{10} \ln{\left (x^{2} + 1 \right )} + \frac{3}{5} \operatorname{arctg}{\left (x \right )}[/tex]

      1. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

         [tex]\int - \frac{1}{5 x + 10}\, dx = - \frac{1}{5} \int \frac{1}{x + 2}\, dx[/tex]

         1. Нека [tex]u = x + 2[/tex].

            Тогава нека [tex]du = dx[/tex] и заместваме [tex]du[/tex]:

            [tex]\int \frac{1}{u}\, du[/tex]

            1. Резултатът е: [tex]\ln{u}[/tex]

            Сега заместваме [tex]u[/tex] обратно в:

            [tex]\ln{\left (x + 2 \right )}[/tex]

         Така, резултатът е: [tex]- \frac{1}{5} \ln{\left (x + 2 \right )}[/tex]

      Резултатът е: [tex]- \frac{1}{5} \ln{\left (x + 2 \right )} + \frac{1}{10} \ln{\left (x^{2} + 1 \right )} + \frac{3}{5} \operatorname{arctg}{\left (x \right )}[/tex]

   Метод #2

   1. Представяме подинтегралната функция:

      [tex]\frac{x + 1}{\left(x + 2\right) \left(x^{2} + 1\right)} = \frac{x}{x^{3} + 2 x^{2} + x + 2} + \frac{1}{x^{3} + 2 x^{2} + x + 2}[/tex]

   2. Интегрираме почленно

      1. Представяме подинтегралната функция:

         [tex]\frac{x}{x^{3} + 2 x^{2} + x + 2} = \frac{2 x + 1}{5 x^{2} + 5} - \frac{2}{5 x + 10}[/tex]

      2. Интегрираме почленно

         1. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

            [tex]\int \frac{2 x + 1}{5 x^{2} + 5}\, dx = \frac{1}{5} \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + 1}\, dx[/tex]

            1. Представяме подинтегралната функция:

               [tex]\frac{2 x + 1}{x^{2} + 1} = \frac{2 x}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} + 1}[/tex]

            2. Интегрираме почленно

               1. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

                  [tex]\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx = 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1}\, dx[/tex]

                  1. Нека [tex]u = x^{2} + 1[/tex].

                     Тогава нека [tex]du = 2 x dx[/tex] и заместваме [tex]\frac{du}{2}[/tex]:

                     [tex]\int \frac{1}{2 u}\, du[/tex]

                     1. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

                        [tex]\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du[/tex]

                        1. Резултатът е: [tex]\ln{u}[/tex]

                        Така, резултатът е: [tex]\frac{1}{2} \ln{\left (u \right )}[/tex]

                     Сега заместваме [tex]u[/tex] обратно в:

                     [tex]\frac{1}{2} \ln{\left (x^{2} + 1 \right )}[/tex]

                  Така, резултатът е: [tex]\ln{\left (x^{2} + 1 \right )}[/tex]

               1. Интегралът от [tex]\frac{1}{x^{2} + 1}[/tex] е [tex]\operatorname{arctg}{\left (x \right )}[/tex].

               Резултатът е: [tex]\ln{\left (x^{2} + 1 \right )} + \operatorname{arctg}{\left (x \right )}[/tex]

            Така, резултатът е: [tex]\frac{1}{5} \ln{\left (x^{2} + 1 \right )} + \frac{1}{5} \operatorname{arctg}{\left (x \right )}[/tex]

         1. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

            [tex]\int - \frac{2}{5 x + 10}\, dx = - \frac{2}{5} \int \frac{1}{x + 2}\, dx[/tex]

            1. Нека [tex]u = x + 2[/tex].

               Тогава нека [tex]du = dx[/tex] и заместваме [tex]du[/tex]:

               [tex]\int \frac{1}{u}\, du[/tex]

               1. Резултатът е: [tex]\ln{u}[/tex]

               Сега заместваме [tex]u[/tex] обратно в:

               [tex]\ln{\left (x + 2 \right )}[/tex]

            Така, резултатът е: [tex]- \frac{2}{5} \ln{\left (x + 2 \right )}[/tex]

         Резултатът е: [tex]- \frac{2}{5} \ln{\left (x + 2 \right )} + \frac{1}{5} \ln{\left (x^{2} + 1 \right )} + \frac{1}{5} \operatorname{arctg}{\left (x \right )}[/tex]

      1. Представяме подинтегралната функция:

         [tex]\frac{1}{x^{3} + 2 x^{2} + x + 2} = - \frac{x - 2}{5 x^{2} + 5} + \frac{1}{5 x + 10}[/tex]

      2. Интегрираме почленно

         1. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

            [tex]\int - \frac{x - 2}{5 x^{2} + 5}\, dx = - \frac{1}{5} \int \frac{x - 2}{x^{2} + 1}\, dx[/tex]

            1. Представяме подинтегралната функция:

               [tex]\frac{x - 2}{x^{2} + 1} = \frac{x}{x^{2} + 1} - \frac{2}{x^{2} + 1}[/tex]

            2. Интегрираме почленно

               1. Нека [tex]u = x^{2} + 1[/tex].

                  Тогава нека [tex]du = 2 x dx[/tex] и заместваме [tex]\frac{du}{2}[/tex]:

                  [tex]\int \frac{1}{2 u}\, du[/tex]

                  1. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

                     [tex]\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du[/tex]

                     1. Резултатът е: [tex]\ln{u}[/tex]

                     Така, резултатът е: [tex]\frac{1}{2} \ln{\left (u \right )}[/tex]

                  Сега заместваме [tex]u[/tex] обратно в:

                  [tex]\frac{1}{2} \ln{\left (x^{2} + 1 \right )}[/tex]

               1. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

                  [tex]\int - \frac{2}{x^{2} + 1}\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx[/tex]

                  1. Интегралът от [tex]\frac{1}{x^{2} + 1}[/tex] е [tex]\operatorname{arctg}{\left (x \right )}[/tex].

                  Така, резултатът е: [tex]- 2 \operatorname{arctg}{\left (x \right )}[/tex]

               Резултатът е: [tex]\frac{1}{2} \ln{\left (x^{2} + 1 \right )} - 2 \operatorname{arctg}{\left (x \right )}[/tex]

            Така, резултатът е: [tex]- \frac{1}{10} \ln{\left (x^{2} + 1 \right )} + \frac{2}{5} \operatorname{arctg}{\left (x \right )}[/tex]

         1. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

            [tex]\int \frac{1}{5 x + 10}\, dx = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x + 2}\, dx[/tex]

            1. Нека [tex]u = x + 2[/tex].

               Тогава нека [tex]du = dx[/tex] и заместваме [tex]du[/tex]:

               [tex]\int \frac{1}{u}\, du[/tex]

               1. Резултатът е: [tex]\ln{u}[/tex]

               Сега заместваме [tex]u[/tex] обратно в:

               [tex]\ln{\left (x + 2 \right )}[/tex]

            Така, резултатът е: [tex]\frac{1}{5} \ln{\left (x + 2 \right )}[/tex]

         Резултатът е: [tex]\frac{1}{5} \ln{\left (x + 2 \right )} - \frac{1}{10} \ln{\left (x^{2} + 1 \right )} + \frac{2}{5} \operatorname{arctg}{\left (x \right )}[/tex]

      Резултатът е: [tex]- \frac{1}{5} \ln{\left (x + 2 \right )} + \frac{1}{10} \ln{\left (x^{2} + 1 \right )} + \frac{3}{5} \operatorname{arctg}{\left (x \right )}[/tex]

2. Добавяме константа:

   [tex]- \frac{1}{5} \ln{\left (x + 2 \right )} + \frac{1}{10} \ln{\left (x^{2} + 1 \right )} + \frac{3}{5} \operatorname{arctg}{\left (x \right )}+ \mathrm{const}[/tex]

Отговорът е:

[tex]- \frac{1}{5} \ln{\left (x + 2 \right )} + \frac{1}{10} \ln{\left (x^{2} + 1 \right )} + \frac{3}{5} \operatorname{arctg}{\left (x \right )}+ \mathrm{const}[/tex]