Програма за намиране на производни стъпка по стъпка

Безплатна програма за намиране на първа производна стъпка по стъпка с обяснение на детайлите.

[tex]\frac{d}{d x}\left(\sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{4} + 2}} + 3 \sin{\left (3 x \right )}\right)[/tex]

Диференцираме [tex]\sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{4} + 2}} + 3 \sin{\left (3 x \right )}[/tex] почленно:
1. Нека [tex]u = \frac{x^{2} + 1}{x^{4} + 2}[/tex].
2. Прилагаме правилото за степенуване: [tex]\sqrt{u}[/tex] се преобразува в [tex]\frac{1}{2 \sqrt{u}}[/tex]
3. След това прилагаме правилото за диференциране на сложна функция. Умножаваме по [tex]\frac{d}{d x}\left(\frac{x^{2} + 1}{x^{4} + 2}\right)[/tex]:
  1. Прилагаме правилото за частно, което е:
    
    [tex]\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)[/tex]
    
    [tex]f{\left (x \right )} = x^{2} + 1[/tex] и [tex]g{\left (x \right )} = x^{4} + 2[/tex].
    
    Да намерим [tex]\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}[/tex]:
    1. Диференцираме [tex]x^{2} + 1[/tex] почленно:
      1. Производната the const [tex]1[/tex] e 0.
      2. Прилагаме правилото за степенуване: [tex]x^{2}[/tex] се преобразува в [tex]2 x[/tex]
      Резултатът е: [tex]2 x[/tex]
    Да намерим [tex]\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}[/tex]:
    1. Диференцираме [tex]x^{4} + 2[/tex] почленно:
      1. Производната the const [tex]2[/tex] e 0.
      2. Прилагаме правилото за степенуване: [tex]x^{4}[/tex] се преобразува в [tex]4 x^{3}[/tex]
      Резултатът е: [tex]4 x^{3}[/tex]
    Прилагаме правилото за частното:
    
    [tex]\frac{1}{\left(x^{4} + 2\right)^{2}} \left(- 4 x^{3} \left(x^{2} + 1\right) + 2 x \left(x^{4} + 2\right)\right)[/tex]
  Производната на сложна функция е:
  
  [tex]\frac{- 4 x^{3} \left(x^{2} + 1\right) + 2 x \left(x^{4} + 2\right)}{2 \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{4} + 2}} \left(x^{4} + 2\right)^{2}}[/tex]
4. Производната a const times a function е the const times the derivative of the function.
  1. Нека [tex]u = 3 x[/tex].
  2. Производната на синус е косинус:
    
    [tex]\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}[/tex]
  3. След това прилагаме правилото за диференциране на сложна функция. Умножаваме по [tex]\frac{d}{d x}\left(3 x\right)[/tex]:
    1. Производната a const times a function е the const times the derivative of the function.
      1. Прилагаме правилото за степенуване: [tex]x[/tex] се преобразува в [tex]1[/tex]
      Така, резултатът е: [tex]3[/tex]
    Производната на сложна функция е:
    
    [tex]3 \cos{\left (3 x \right )}[/tex]
  Така, резултатът е: [tex]9 \cos{\left (3 x \right )}[/tex]
Резултатът е: [tex]9 \cos{\left (3 x \right )} + \frac{- 4 x^{3} \left(x^{2} + 1\right) + 2 x \left(x^{4} + 2\right)}{2 \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{4} + 2}} \left(x^{4} + 2\right)^{2}}[/tex]
Сега опростяваме:

[tex]\frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{4} + 2}} \left(x^{4} + 2\right)^{2}} \left(- 2 x^{3} \left(x^{2} + 1\right) + x \left(x^{4} + 2\right) + 9 \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{4} + 2}} \left(x^{4} + 2\right)^{2} \cos{\left (3 x \right )}\right)[/tex]

Отговорът е:

[tex]\frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{4} + 2}} \left(x^{4} + 2\right)^{2}} \left(- 2 x^{3} \left(x^{2} + 1\right) + x \left(x^{4} + 2\right) + 9 \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x^{4} + 2}} \left(x^{4} + 2\right)^{2} \cos{\left (3 x \right )}\right)[/tex]

Команди:
* - умножение
x^2 е x²
sqrt(x) e $\sqrt{x}$
sqrt[3](x) е $\sqrt[3]{x}$
pi = $\pi$
oo = $\infty$
(a+b)/(c+d) е $\frac{a+b}{c+d}$

Основните производни

$\frac{d}{dx}a=0$ - където a е константа

$\frac{d}{dx}x=1$

$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$

$\frac{d}{dx}e^x=e^x$

$\frac{d}{dx}\text{ln}(x)=\frac1x$

$\frac{d}{dx}a^x=a^x\text{ln}(x)$

$(f\ g)' = f'g + fg'$ - правило за умножение

$(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ - правило за частно

$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$ - производна на сложна функция(функция от функция)

$\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x)$

$\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)$

$\frac{d}{dx}\arcsin(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx}\arccos(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx}\text{arctg}(x)=\frac{1}{1+x^2}$

$\frac{d}{dx}\text{arccotg}(x)=-\frac{1}{1+x^2}$

Други ресурси свързани с производни

Формули за намиране на първа производна Задачи Форум за висша математика

Програма за намиране на производни стъпка по стъпка

Отговор:

Основните производни

Други ресурси свързани с производни