Базплатна програма за решаване на интеграли

1. Има няколко начина да решим интегралът.

   Метод #1

   1. Нека [tex]u = - x[/tex].

      Тогава нека [tex]du = - dx[/tex] и заместваме [tex]du[/tex]:

      [tex]\int - \frac{3 u}{2} e^{\frac{3 u}{2}} + \frac{u e^{\frac{u}{2}}}{2} + u e^{u}\, du[/tex]

      1. Интегрираме почленно

         1. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

            [tex]\int - \frac{3 u}{2} e^{\frac{3 u}{2}}\, du = - \frac{3}{2} \int u e^{\frac{3 u}{2}}\, du[/tex]

            1. Интегрираме по части:

               $$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$

               Нека [tex]u{\left (u \right )} = u[/tex] и нека [tex]\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{\frac{3 u}{2}}[/tex].

               Тогава [tex]\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1[/tex].

               Да намерим [tex]v{\left (u \right )}[/tex]:

               1. Нека [tex]u = \frac{3 u}{2}[/tex].

                  Тогава нека [tex]du = \frac{3 du}{2}[/tex] и заместваме [tex]\frac{2 du}{3}[/tex]:

                  [tex]\int \frac{2 e^{u}}{3}\, du[/tex]

                  1. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

                     [tex]\int e^{u}\, du = \frac{2}{3} \int e^{u}\, du[/tex]

                     1. Интеграл от експонентната фукнция е самата функция.

                        [tex]\int e^{u}\, du = e^{u}[/tex]

                     Така, резултатът е: [tex]\frac{2 e^{u}}{3}[/tex]

                  Сега заместваме [tex]u[/tex] обратно в:

                  [tex]\frac{2}{3} e^{\frac{3 u}{2}}[/tex]

               Намираме под-интеграла.

            2. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

               [tex]\int \frac{2}{3} e^{\frac{3 u}{2}}\, du = \frac{2}{3} \int e^{\frac{3 u}{2}}\, du[/tex]

               1. Нека [tex]u = \frac{3 u}{2}[/tex].

                  Тогава нека [tex]du = \frac{3 du}{2}[/tex] и заместваме [tex]\frac{2 du}{3}[/tex]:

                  [tex]\int \frac{2 e^{u}}{3}\, du[/tex]

                  1. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

                     [tex]\int e^{u}\, du = \frac{2}{3} \int e^{u}\, du[/tex]

                     1. Интеграл от експонентната фукнция е самата функция.

                        [tex]\int e^{u}\, du = e^{u}[/tex]

                     Така, резултатът е: [tex]\frac{2 e^{u}}{3}[/tex]

                  Сега заместваме [tex]u[/tex] обратно в:

                  [tex]\frac{2}{3} e^{\frac{3 u}{2}}[/tex]

               Така, резултатът е: [tex]\frac{4}{9} e^{\frac{3 u}{2}}[/tex]

            Така, резултатът е: [tex]- u e^{\frac{3 u}{2}} + \frac{2}{3} e^{\frac{3 u}{2}}[/tex]

         1. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

            [tex]\int \frac{u e^{\frac{u}{2}}}{2}\, du = \frac{1}{2} \int u e^{\frac{u}{2}}\, du[/tex]

            1. Интегрираме по части:

               $$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$

               Нека [tex]u{\left (u \right )} = u[/tex] и нека [tex]\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{\frac{u}{2}}[/tex].

               Тогава [tex]\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1[/tex].

               Да намерим [tex]v{\left (u \right )}[/tex]:

               1. Нека [tex]u = \frac{u}{2}[/tex].

                  Тогава нека [tex]du = \frac{du}{2}[/tex] и заместваме [tex]2 du[/tex]:

                  [tex]\int 2 e^{u}\, du[/tex]

                  1. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

                     [tex]\int e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du[/tex]

                     1. Интеграл от експонентната фукнция е самата функция.

                        [tex]\int e^{u}\, du = e^{u}[/tex]

                     Така, резултатът е: [tex]2 e^{u}[/tex]

                  Сега заместваме [tex]u[/tex] обратно в:

                  [tex]2 e^{\frac{u}{2}}[/tex]

               Намираме под-интеграла.

            2. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

               [tex]\int 2 e^{\frac{u}{2}}\, du = 2 \int e^{\frac{u}{2}}\, du[/tex]

               1. Нека [tex]u = \frac{u}{2}[/tex].

                  Тогава нека [tex]du = \frac{du}{2}[/tex] и заместваме [tex]2 du[/tex]:

                  [tex]\int 2 e^{u}\, du[/tex]

                  1. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

                     [tex]\int e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du[/tex]

                     1. Интеграл от експонентната фукнция е самата функция.

                        [tex]\int e^{u}\, du = e^{u}[/tex]

                     Така, резултатът е: [tex]2 e^{u}[/tex]

                  Сега заместваме [tex]u[/tex] обратно в:

                  [tex]2 e^{\frac{u}{2}}[/tex]

               Така, резултатът е: [tex]4 e^{\frac{u}{2}}[/tex]

            Така, резултатът е: [tex]u e^{\frac{u}{2}} - 2 e^{\frac{u}{2}}[/tex]

         1. Интегрираме по части:

            $$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$

            Нека [tex]u{\left (u \right )} = u[/tex] и нека [tex]\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}[/tex].

            Тогава [tex]\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1[/tex].

            Да намерим [tex]v{\left (u \right )}[/tex]:

            1. Интеграл от експонентната фукнция е самата функция.

               [tex]\int e^{u}\, du = e^{u}[/tex]

            Намираме под-интеграла.

         2. Интеграл от експонентната фукнция е самата функция.

            [tex]\int e^{u}\, du = e^{u}[/tex]

         Резултатът е: [tex]- u e^{\frac{3 u}{2}} + u e^{\frac{u}{2}} + u e^{u} + \frac{2}{3} e^{\frac{3 u}{2}} - 2 e^{\frac{u}{2}} - e^{u}[/tex]

      Сега заместваме [tex]u[/tex] обратно в:

      [tex]- x e^{- x} - x e^{- \frac{x}{2}} + x e^{- \frac{3 x}{2}} - e^{- x} - 2 e^{- \frac{x}{2}} + \frac{2}{3} e^{- \frac{3 x}{2}}[/tex]

   Метод #2

   1. Представяме подинтегралната функция:

      [tex]x \left(e^{- x} + \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2} - \frac{3}{2} e^{- \frac{3 x}{2}}\right) = x e^{- x} + \frac{x}{2} e^{- \frac{x}{2}} - \frac{3 x}{2} e^{- \frac{3 x}{2}}[/tex]

   2. Интегрираме почленно

      1. Нека [tex]u = - x[/tex].

         Тогава нека [tex]du = - dx[/tex] и заместваме [tex]du[/tex]:

         [tex]\int u e^{u}\, du[/tex]

         1. Интегрираме по части:

            $$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$

            Нека [tex]u{\left (u \right )} = u[/tex] и нека [tex]\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}[/tex].

            Тогава [tex]\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1[/tex].

            Да намерим [tex]v{\left (u \right )}[/tex]:

            1. Интеграл от експонентната фукнция е самата функция.

               [tex]\int e^{u}\, du = e^{u}[/tex]

            Намираме под-интеграла.

         2. Интеграл от експонентната фукнция е самата функция.

            [tex]\int e^{u}\, du = e^{u}[/tex]

         Сега заместваме [tex]u[/tex] обратно в:

         [tex]- x e^{- x} - e^{- x}[/tex]

      1. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

         [tex]\int \frac{x}{2} e^{- \frac{x}{2}}\, dx = \frac{1}{2} \int x e^{- \frac{x}{2}}\, dx[/tex]

         1. Интегрираме по части:

            $$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$

            Нека [tex]u{\left (x \right )} = x[/tex] и нека [tex]\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{- \frac{x}{2}}[/tex].

            Тогава [tex]\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1[/tex].

            Да намерим [tex]v{\left (x \right )}[/tex]:

            1. Нека [tex]u = - \frac{x}{2}[/tex].

               Тогава нека [tex]du = - \frac{dx}{2}[/tex] и заместваме [tex]- 2 du[/tex]:

               [tex]\int - 2 e^{u}\, du[/tex]

               1. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

                  [tex]\int e^{u}\, du = - 2 \int e^{u}\, du[/tex]

                  1. Интеграл от експонентната фукнция е самата функция.

                     [tex]\int e^{u}\, du = e^{u}[/tex]

                  Така, резултатът е: [tex]- 2 e^{u}[/tex]

               Сега заместваме [tex]u[/tex] обратно в:

               [tex]- 2 e^{- \frac{x}{2}}[/tex]

            Намираме под-интеграла.

         2. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

            [tex]\int - 2 e^{- \frac{x}{2}}\, dx = - 2 \int e^{- \frac{x}{2}}\, dx[/tex]

            1. Нека [tex]u = - \frac{x}{2}[/tex].

               Тогава нека [tex]du = - \frac{dx}{2}[/tex] и заместваме [tex]- 2 du[/tex]:

               [tex]\int - 2 e^{u}\, du[/tex]

               1. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

                  [tex]\int e^{u}\, du = - 2 \int e^{u}\, du[/tex]

                  1. Интеграл от експонентната фукнция е самата функция.

                     [tex]\int e^{u}\, du = e^{u}[/tex]

                  Така, резултатът е: [tex]- 2 e^{u}[/tex]

               Сега заместваме [tex]u[/tex] обратно в:

               [tex]- 2 e^{- \frac{x}{2}}[/tex]

            Така, резултатът е: [tex]4 e^{- \frac{x}{2}}[/tex]

         Така, резултатът е: [tex]- x e^{- \frac{x}{2}} - 2 e^{- \frac{x}{2}}[/tex]

      1. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

         [tex]\int - \frac{3 x}{2} e^{- \frac{3 x}{2}}\, dx = - \frac{3}{2} \int x e^{- \frac{3 x}{2}}\, dx[/tex]

         1. Интегрираме по части:

            $$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$

            Нека [tex]u{\left (x \right )} = x[/tex] и нека [tex]\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{- \frac{3 x}{2}}[/tex].

            Тогава [tex]\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1[/tex].

            Да намерим [tex]v{\left (x \right )}[/tex]:

            1. Нека [tex]u = - \frac{3 x}{2}[/tex].

               Тогава нека [tex]du = - \frac{3 dx}{2}[/tex] и заместваме [tex]- \frac{2 du}{3}[/tex]:

               [tex]\int - \frac{2 e^{u}}{3}\, du[/tex]

               1. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

                  [tex]\int e^{u}\, du = - \frac{2}{3} \int e^{u}\, du[/tex]

                  1. Интеграл от експонентната фукнция е самата функция.

                     [tex]\int e^{u}\, du = e^{u}[/tex]

                  Така, резултатът е: [tex]- \frac{2 e^{u}}{3}[/tex]

               Сега заместваме [tex]u[/tex] обратно в:

               [tex]- \frac{2}{3} e^{- \frac{3 x}{2}}[/tex]

            Намираме под-интеграла.

         2. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

            [tex]\int - \frac{2}{3} e^{- \frac{3 x}{2}}\, dx = - \frac{2}{3} \int e^{- \frac{3 x}{2}}\, dx[/tex]

            1. Нека [tex]u = - \frac{3 x}{2}[/tex].

               Тогава нека [tex]du = - \frac{3 dx}{2}[/tex] и заместваме [tex]- \frac{2 du}{3}[/tex]:

               [tex]\int - \frac{2 e^{u}}{3}\, du[/tex]

               1. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

                  [tex]\int e^{u}\, du = - \frac{2}{3} \int e^{u}\, du[/tex]

                  1. Интеграл от експонентната фукнция е самата функция.

                     [tex]\int e^{u}\, du = e^{u}[/tex]

                  Така, резултатът е: [tex]- \frac{2 e^{u}}{3}[/tex]

               Сега заместваме [tex]u[/tex] обратно в:

               [tex]- \frac{2}{3} e^{- \frac{3 x}{2}}[/tex]

            Така, резултатът е: [tex]\frac{4}{9} e^{- \frac{3 x}{2}}[/tex]

         Така, резултатът е: [tex]x e^{- \frac{3 x}{2}} + \frac{2}{3} e^{- \frac{3 x}{2}}[/tex]

      Резултатът е: [tex]- x e^{- x} - x e^{- \frac{x}{2}} + x e^{- \frac{3 x}{2}} - e^{- x} - 2 e^{- \frac{x}{2}} + \frac{2}{3} e^{- \frac{3 x}{2}}[/tex]

2. Опростяваме:

   [tex]\frac{1}{3} \left(- 3 \left(x + 1\right) e^{2 x} - 3 \left(x + 2\right) e^{\frac{5 x}{2}} + \left(3 x + 2\right) e^{\frac{3 x}{2}}\right) e^{- 3 x}[/tex]

3. Добавяме константа:

   [tex]\frac{1}{3} \left(- 3 \left(x + 1\right) e^{2 x} - 3 \left(x + 2\right) e^{\frac{5 x}{2}} + \left(3 x + 2\right) e^{\frac{3 x}{2}}\right) e^{- 3 x}+ \mathrm{const}[/tex]

Отговорът е:

[tex]\frac{1}{3} \left(- 3 \left(x + 1\right) e^{2 x} - 3 \left(x + 2\right) e^{\frac{5 x}{2}} + \left(3 x + 2\right) e^{\frac{3 x}{2}}\right) e^{- 3 x}+ \mathrm{const}[/tex]