Базплатна програма за решаване на интеграли

1. Интегрираме почленно

   1. Интегрираме по части:

      $$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$

      Нека [tex]u{\left (x \right )} = x[/tex] и нека [tex]\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{x}[/tex].

      Тогава [tex]\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1[/tex].

      Да намерим [tex]v{\left (x \right )}[/tex]:

      1. Интеграл от експонентната фукнция е самата функция.

         [tex]\int e^{x}\, dx = e^{x}[/tex]

      Намираме под-интеграла.

   2. Интеграл от експонентната фукнция е самата функция.

      [tex]\int e^{x}\, dx = e^{x}[/tex]

   1. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

      [tex]\int - \sin{\left (3 x \right )}\, dx = - \int \sin{\left (3 x \right )}\, dx[/tex]

      1. Нека [tex]u = 3 x[/tex].

         Тогава нека [tex]du = 3 dx[/tex] и заместваме [tex]\frac{du}{3}[/tex]:

         [tex]\int \frac{1}{3} \sin{\left (u \right )}\, du[/tex]

         1. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

            [tex]\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \sin{\left (u \right )}\, du[/tex]

            1. Интеграл от синус е косинус с отрицателен знак:

               [tex]\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}[/tex]

            Така, резултатът е: [tex]- \frac{1}{3} \cos{\left (u \right )}[/tex]

         Сега заместваме [tex]u[/tex] обратно в:

         [tex]- \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}[/tex]

      Така, резултатът е: [tex]\frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}[/tex]

   Резултатът е: [tex]x e^{x} - e^{x} + \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}[/tex]

2. Добавяме константа:

   [tex]x e^{x} - e^{x} + \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}+ \mathrm{const}[/tex]

Отговорът е:

[tex]x e^{x} - e^{x} + \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}+ \mathrm{const}[/tex]