Базплатна програма за решаване на интеграли

1. Интегрираме по части:

   $$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$

   Нека [tex]u{\left (x \right )} = \ln{\left (x + 1 \right )}[/tex] и нека [tex]\operatorname{dv}{\left (x \right )} = x[/tex].

   Тогава [tex]\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x + 1}[/tex].

   Да намерим [tex]v{\left (x \right )}[/tex]:

   1. Интегралът от [tex]x^{n}[/tex] е [tex]\frac{x^{n + 1}}{n + 1}[/tex] когато [tex]n \neq -1[/tex]:

      [tex]\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}[/tex]

   Намираме под-интеграла.

2. Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:

   [tex]\int \frac{x^{2}}{2 x + 2}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x + 1}\, dx[/tex]

   1. Представяме подинтегралната функция:

      [tex]\frac{x^{2}}{x + 1} = x - 1 + \frac{1}{x + 1}[/tex]

   2. Интегрираме почленно

      1. Интегралът от [tex]x^{n}[/tex] е [tex]\frac{x^{n + 1}}{n + 1}[/tex] когато [tex]n \neq -1[/tex]:

         [tex]\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}[/tex]

      1. Интеграл от константа е константната по интегралната променлива:

         [tex]\int -1\, dx = - x[/tex]

      1. Нека [tex]u = x + 1[/tex].

         Тогава нека [tex]du = dx[/tex] и заместваме [tex]du[/tex]:

         [tex]\int \frac{1}{u}\, du[/tex]

         1. Резултатът е: [tex]\ln{u}[/tex]

         Сега заместваме [tex]u[/tex] обратно в:

         [tex]\ln{\left (x + 1 \right )}[/tex]

      Резултатът е: [tex]\frac{x^{2}}{2} - x + \ln{\left (x + 1 \right )}[/tex]

   Така, резултатът е: [tex]\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \ln{\left (x + 1 \right )}[/tex]

3. Добавяме константа:

   [tex]\frac{x^{2}}{2} \ln{\left (x + 1 \right )} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \ln{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{const}[/tex]

Отговорът е:

[tex]\frac{x^{2}}{2} \ln{\left (x + 1 \right )} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \ln{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{const}[/tex]