[tex]\int \frac{x}{x^{3} - 1}\, dx = \frac{1}{3} \ln{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{6} \ln{\left (x^{2} + x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{arctg}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )} + \mathrm{const}[/tex]
-
Представяме подинтегралната функция:
[tex]\frac{x}{x^{3} - 1} = - \frac{x - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3} + \frac{1}{3 x - 3}[/tex]
-
Интегрираме почленно
-
Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:
[tex]\int - \frac{x - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3}\, dx = - \frac{1}{3} \int \frac{x - 1}{x^{2} + x + 1}\, dx[/tex]
-
Представяме подинтегралната функция:
[tex]\frac{x - 1}{x^{2} + x + 1} = \frac{x}{x^{2} + x + 1} - \frac{1}{x^{2} + x + 1}[/tex]
-
Интегрираме почленно
-
Не знаем стъпките за решаване на този интеграл.
Но интегралът е
[tex]\frac{1}{2} \ln{\left (x^{2} + x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{arctg}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}[/tex]
-
Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:
[tex]\int - \frac{1}{x^{2} + x + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x^{2} + x + 1}\, dx[/tex]
-
Не знаем стъпките за решаване на този интеграл.
Но интегралът е
[tex]\frac{2 \sqrt{3}}{3} \operatorname{arctg}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}[/tex]
Така, резултатът е: [tex]- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \operatorname{arctg}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}[/tex]
Резултатът е: [tex]\frac{1}{2} \ln{\left (x^{2} + x + 1 \right )} - \sqrt{3} \operatorname{arctg}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}[/tex]
Така, резултатът е: [tex]- \frac{1}{6} \ln{\left (x^{2} + x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{arctg}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}[/tex]
-
Интеграл от константа по функция е константата по интеграл от фунцията:
[tex]\int \frac{1}{3 x - 3}\, dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 1}\, dx[/tex]
-
Нека [tex]u = x - 1[/tex].
Тогава нека [tex]du = dx[/tex] и заместваме [tex]du[/tex]:
[tex]\int \frac{1}{u}\, du[/tex]
-
Резултатът е: [tex]\ln{u}[/tex]
Сега заместваме [tex]u[/tex] обратно в:
[tex]\ln{\left (x - 1 \right )}[/tex]
Така, резултатът е: [tex]\frac{1}{3} \ln{\left (x - 1 \right )}[/tex]
Резултатът е: [tex]\frac{1}{3} \ln{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{6} \ln{\left (x^{2} + x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{arctg}{\left (\frac{2 x}{3} \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}[/tex]
Опростяваме:
[tex]\frac{1}{3} \ln{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{6} \ln{\left (x^{2} + x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{arctg}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(2 x + 1\right) \right )}[/tex]
Добавяме константа:
[tex]\frac{1}{3} \ln{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{6} \ln{\left (x^{2} + x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{arctg}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(2 x + 1\right) \right )}+ \mathrm{const}[/tex]
Отговорът е:
[tex]\frac{1}{3} \ln{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{6} \ln{\left (x^{2} + x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{arctg}{\left (\frac{\sqrt{3}}{3} \left(2 x + 1\right) \right )}+ \mathrm{const}[/tex]
Меню