МенюПрограма за намиране на производни стъпка по стъпка
Безплатна програма за намиране на първа производна стъпка по стъпка с обяснение на детайлите.
-
Диференцираме [tex]x^{3} \cos{\left (2 x \right )} + 3 cotg{\left (x \right )} - 7[/tex] почленно:
-
Производната the const [tex]-7[/tex] e 0.
-
Производната a const times a function е the const times the derivative of the function.
-
Има няколко начина да намерим тази производна.
Метод #1
-
Пренаписваме функцията, за да е диференцирана:
[tex]cotg{\left (x \right )} = \frac{1}{tg{\left (x \right )}}[/tex]
-
Нека [tex]u = tg{\left (x \right )}[/tex].
-
Прилагаме правилото за степенуване: [tex]\frac{1}{u}[/tex] се преобразува в [tex]- \frac{1}{u^{2}}[/tex]
-
След това прилагаме правилото за диференциране на сложна функция. Умножаваме по [tex]\frac{d}{d x} tg{\left (x \right )}[/tex]:
-
Пренаписваме функцията, за да е диференцирана:
[tex]tg{\left (x \right )} = \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}[/tex]
-
Прилагаме правилото за частно, което е:
[tex]\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)[/tex]
[tex]f{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}[/tex] и [tex]g{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}[/tex].
Да намерим [tex]\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}[/tex]:
-
Производната на синус е косинус:
[tex]\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}[/tex]
Да намерим [tex]\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}[/tex]:
-
Производната на косинус е отрицателен синус:
[tex]\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}[/tex]
Прилагаме правилото за частното:
[tex]\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)[/tex]
-
-
Производната на сложна функция е:
[tex]- \frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} tg^{2}{\left (x \right )}}[/tex]
Метод #2
-
Пренаписваме функцията, за да е диференцирана:
[tex]cotg{\left (x \right )} = \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}[/tex]
-
Прилагаме правилото за частно, което е:
[tex]\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)[/tex]
[tex]f{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}[/tex] и [tex]g{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}[/tex].
Да намерим [tex]\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}[/tex]:
-
Производната на косинус е отрицателен синус:
[tex]\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}[/tex]
Да намерим [tex]\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}[/tex]:
-
Производната на синус е косинус:
[tex]\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}[/tex]
Прилагаме правилото за частното:
[tex]\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(- \sin^{2}{\left (x \right )} - \cos^{2}{\left (x \right )}\right)[/tex]
-
-
Така, резултатът е: [tex]- \frac{3 \sin^{2}{\left (x \right )} + 3 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} tg^{2}{\left (x \right )}}[/tex]
-
-
Прилагаме правилото за умножение:
[tex]\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}[/tex]
[tex]f{\left (x \right )} = x^{3}[/tex]; да намери [tex]\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}[/tex]:
-
Прилагаме правилото за степенуване: [tex]x^{3}[/tex] се преобразува в [tex]3 x^{2}[/tex]
[tex]g{\left (x \right )} = \cos{\left (2 x \right )}[/tex]; да намери [tex]\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}[/tex]:
-
Нека [tex]u = 2 x[/tex].
-
Производната на косинус е отрицателен синус:
[tex]\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}[/tex]
-
-
След това прилагаме правилото за диференциране на сложна функция. Умножаваме по [tex]\frac{d}{d x}\left(2 x\right)[/tex]:
-
Производната a const times a function е the const times the derivative of the function.
-
Прилагаме правилото за степенуване: [tex]x[/tex] се преобразува в [tex]1[/tex]
Така, резултатът е: [tex]2[/tex]
-
Производната на сложна функция е:
[tex]- 2 \sin{\left (2 x \right )}[/tex]
-
Резултатът е: [tex]- 2 x^{3} \sin{\left (2 x \right )} + 3 x^{2} \cos{\left (2 x \right )}[/tex]
-
Резултатът е: [tex]- 2 x^{3} \sin{\left (2 x \right )} + 3 x^{2} \cos{\left (2 x \right )} - \frac{3 \sin^{2}{\left (x \right )} + 3 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} tg^{2}{\left (x \right )}}[/tex]
Сега опростяваме:
[tex]- 2 x^{3} \sin{\left (2 x \right )} + 3 x^{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{6}{\cos{\left (2 x \right )} - 1}[/tex]
Отговорът е:
[tex]- 2 x^{3} \sin{\left (2 x \right )} + 3 x^{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{6}{\cos{\left (2 x \right )} - 1}[/tex]
* - умножение
x^2 е x2
sqrt(x) e $\sqrt{x}$
sqrt[3](x) е $\sqrt[3]{x}$
pi = $\pi$
oo = $\infty$
(a+b)/(c+d) е $\frac{a+b}{c+d}$
Основните производни
$\frac{d}{dx}a=0$ - където a е константа
$\frac{d}{dx}x=1$
$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$
$\frac{d}{dx}e^x=e^x$
$\frac{d}{dx}\text{ln}(x)=\frac1x$
$\frac{d}{dx}a^x=a^x\text{ln}(x)$
$(f\ g)' = f'g + fg'$ - правило за умножение
$(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ - правило за частно
$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$ - производна на сложна функция(функция от функция)
$\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x)$
$\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)$
$\frac{d}{dx}\arcsin(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{d}{dx}\arccos(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{d}{dx}\text{arctg}(x)=\frac{1}{1+x^2}$
$\frac{d}{dx}\text{arccotg}(x)=-\frac{1}{1+x^2}$
Други ресурси свързани с производни
Формули за намиране на първа производна Задачи Форум за висша математика
