Интеграли - задачи с решения

Решение:
Отговор: $\int g(x)dx =f(x)+C$

Тъй като $g(x)=\frac{d}{dx}f(x)=f'(x)$ по дефиниция неопределения интеграл
$\int g(x)dx$ $=f(x)$

Можем да го докажем.
$\int g(x)dx$ $=\int (2x-3x^{2})dx$ $=\int 2xdx-\int 3x^{2}dx=$
$\int g(x)dx =2\int xdx-3\int x^{2}dx=2\cdot \frac{1}{2}x^{2}-3\cdot \frac{1}{3}x^{3}=x^{2}-x^{3}+C=f(x)+C$
където $C\in R$

Решение:
Отговор: само (i) е вярно.

Тъй като $g(x)=\frac{d}{dx}f(x)$ по дефиниция неопределения интеграл
$\int g(x)dx=f(x)$

Така проверяваме резултата от интеграла
$\int g(x)dx$ $=\int (\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}})dx$ $=$

$\int g(x)dx$ $=\int \sqrt{x}dx+\int \frac{1}{2\sqrt{x}}dx=\int x^{1/2}dx+\frac{1}{2}\int x^{-1/2}dx=\frac{1}{\frac{3}{2}}x^{3/2}+\frac{1}{2}\frac{x^{1/2}}{\frac{1}{2}}+C$

$\int g(x)dx$ $=\frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}+\sqrt{x}+C=f(x)+C$, където $C\in R$

Решение:
Отговор: $\int \left( 3x^{2}-3\right) dx=x^{3}-3x+C$

Виждаме, че $f(x)+g(x)=\int \left( x^{2}+2\right) dx+\int \left(2x^{2}-5\right) dx$
използваме свойството за сбор на интеграли. Така
$\int \left( x^{2}+2\right) dx+\int \left( 2x^{2}-5\right) dx=\int \left[ \left( x^{2}+2\right) +\left( 2x^{2}-5\right) \right] dx=\int \left( 3x^{2}-3\right) dx$

Тогава $\int \left( 3x^{2}-3\right) dx=f(x)+g(x)=\left( \frac{1}{3}x^{3}+2x+C\right) +\left( \frac{2}{3}x^{3}-5x+C\right) $

$\int \left( 3x^{2}-3\right) dx=x^{3}-3x+C$

Решение:
Отговор: никое от тези.

Имайки предвид, че
$\int f(x)\cdot g(x)dx\neq \left( \int f(x)dx\right) \left( \int g(x)dx\right) $
Така, за да решим $\int \left( 2x+3\right) \left(x^{2}+3\right) dx$

Трябва да упростим подинтегралната функция.
$\int \left( 2x+3\right) \left(x^{2}+3\right) dx=\int \left( 2x^{3}+6x+3x^{2}+9\right) dx$

$\int \left( 2x+3\right) \left( x^{2}+3\right) dx=\int 2x^{3}dx+\int 6xdx+\int 3x^{2}dx+\int 9dx=\frac{2}{4}x^{4}+\frac{6}{2}x^{2}+\frac{3}{3}x^{3}+9x+C$

Така $\int \left( 2x+3\right) \left( x^{2}+3\right) dx=\frac{1}{2}x^{4}+3x^{2}+x^{3}+9x+C$

Решение:
Отговор: $\int \frac{x^{2}+2x-3}{x^{4}}dx=\int \frac{dx}{x^{2}}+2\int \frac{dx}{x^{3}}-3\int \frac{dx}{x^{4}}$

---

Трябва да опростим подинтегралната функция

$\int \frac{x^{2}+2x-3}{x^{4}}dx=\int \left( \frac{x^{2}}{x^{4}}+\frac{2x}{x^{4}}-\frac{3}{x^{4}}\right) dx$, и и използваме свойствата за събираме и изваждане на интеграли.
Така $\int \frac{x^{2}+2x-3}{x^{4}}dx=\int \frac{1}{x^{2}}dx+\int \frac{2}{x^{3}}dx-\int \frac{3}{x^{4}}dx$

Тогава $\int \frac{x^{2}+2x-3}{x^{4}}dx=\int \frac{dx}{x^{2}}+2\int \frac{dx}{x^{3}}-3\int \frac{dx}{x^{4}}$

Решение:
Трябва да опростим подинтегралната функция и да приложим свойствата за събиране и изваждане на интеграли.

Така $\int (x+1)(x-2)dx=\int \left(x^{2}-2x+x-2\right) dx$

тогава $\int (x+1)(x-2)dx=\int \left( x^{2}-x-2\right) dx=\int x^{2}dx-\int xdx-2\int dx$

Резултатът е:
$\int (x+1)(x-2)dx=\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-2x+C$, където $C\in R$

Решение:
$\int (2t^{2}-1)^{2}dt=\int(4t^{4}-4t^{2}+1)dt=\int 4t^{4}dt-\int 4t^{2}dt+\int dt=\frac{4}{5}t^{5}-\frac{4}{3}t^{3}+t+C$ тогава

$\int (2t^{2}-1)^{2}dt=\frac{4}{5}t^{5}-\frac{4}{3}t^{3}+t+C$

Решение:
Ще използваме основното тригонометрично тъждество, за да опростим подинтегралната функция.
$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\Longrightarrow 1-\sin ^{2}x=\cos ^{2}x$

$\int \frac{\sin x}{1-\sin ^{2}x}dx=\int \frac{\sin x}{\cos ^{2}x}dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{1}{\cos x}dx$

Така, $\int \frac{\sin x}{1-\sin ^{2}x}dx=\int \text{tg} x\cdot \sec xdx$
Това е табличен интеграл

$\int \frac{\sin x}{1-\sin ^{2}x}dx=\int \text{tg} x\cdot \sec xdx=\sec x+C$

Решение:
$\Delta x=\frac{2-0}{4}=0{,}5$

Ще направим приближение на интеграла с помощта на горната сума от $4$ правоъгълници, където е височината на правоъгълниците са $f(0{,}5);f(1);f(1{,}5);f(2)$

Така $\overset{2}{\underset{0}{\int }}f(x)dx\approx \underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x=0{,}5\left( f(0{,}5)+f(1)+f(1{,}5)+f(2)\right) $

$f(0{,}5)=2(0{,}5)+5=6$
$f(1)=2(1)+5=7$
$f(1{,}5)=2(1{,}5)+5=8$
$f(2)=2(2)+5=9$

Тогава $\overset{2}{\underset{0}{\int }}f(x)dx\approx 0{,}5\left( 6+7+8+9\right) =15$ така
$\overset{2}{\underset{0}{\int }}(2x+5)dx\approx 15$

Решение:
$\Delta x=\frac{5-2}{6}=0{,}5$

Ще направим приближение на интеграла с помощта на горната сума от $6$ правоъгълника, където височините на правоъгълниците e
$g(2{,}5);g(3);g(3{,}5);g(4);g(4{,}5);g(5)$

Така $\overset{5}{\underset{2}{\int }}g(x)dx\approx \underset{i=1}{\overset{6}{\sum }}h_{i}\Delta x=0,5\left( g(2{,}5)+g(3)+g(3{,}5)+g(4)+g(4{,}5)+g(5)\right) $

$g(2{,}5)=2(2{,}5)^{2}-(2{,}5)-1=0$
$g(3)=2(3)^{2}-(3)-1=15$
$g(3{,}5)=2(3{,}5)^{2}-(3{,}5)-1=20$
$g(4)=2(4)^{2}-(4)-1=27$ $g(4{,}5)=2(4{,}5)^{2}-(4{,}5)-1=35$
$g(5)=2(5)^{2}-(5)-1=44$

$\overset{5}{\underset{2}{\int }}g(x)dx\approx 0,5\left( 9+15+20+27+35+44\right) =75$
Следователно
$\overset{5}{\underset{2}{\int }}(2x^{2}-x-1)dx\approx 75$

Решение:
Горни суми: ще съберем лицата на $4$ правоъгълника с височини $5,5,4,2$ и основи $\Delta x=1$
Така лицето $\approx \underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x=\left( 5+5+4+2\right) \cdot 1=16$

Долни суми: ще съберем лицата на $4$ правоъгълника височини $4,4,3,1$
и основи $\Delta x=1$
Така лицето $\approx \underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x=\left( 4+4+3+1\right) \cdot 1=12$
Лицето на розовия регион е заключен между долните и горните суми т.е
$12<\text{Area}<16$

Решение:
Горни суми: ще съберем лицата на $5$-те правоъгълника с височини $5,2,1,1,1$
и основи $\Delta x=1$
Лице $\approx \underset{i=1}{\overset{5}{\sum }}h_{i}\Delta x=\left( 5+2+1+1+1\right) \cdot 1=10$

Долни суми: ще съберем лицата на $5$-те правоъгълника с височини $2,1,0,0,0$
и основи $\Delta x=1$
Лице $\approx \underset{i=1}{\overset{5}{\sum }}h_{i}\Delta x=\left( 2+1+0+0+0\right) \cdot 1=3$

Лицето на розовия регион е заключено между горните и долните суми. Така

3 < лице < 10

Решение:
Нека $y=f(x)=\sqrt{x}$
Височините на горните правоъгълници са
$f(\frac{1}{4});f(\frac{1}{2});f(\frac{3}{4});f(1);$,
а височините на долните правоъгълници са
$f(0);f(\frac{1}{4});f(\frac{1}{2});f(\frac{3}{4})$ страната на всеки правоъгълник е $\Delta x=\frac{1-0}{4}=0,25$ тогава
$S=\underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x=0,25\left( f(\frac{1}{4} )+f(\frac{1}{2})+f(\frac{3}{4})+f(1)\right) =0,25\left( \frac{1}{2}+\frac{ \sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+1\right) $

$S=\underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x\approx 0,768$
$s=\underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x=0,25\left( f(0)+f(\frac{1}{4})+f(\frac{1}{2})+f(\frac{3}{4})\right) $
$s=\underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x=0,25\left( 0+\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \approx 0,518$
$s=\underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x\approx 0,518$

Така $s\leq \text{лице} \leq S\Longrightarrow 0,518\leq \text{лице} \leq 0,768$

Решение:
Нека $y=f(x)=\frac{1}{x}$
основата на всеки правоъгълник е
$\Delta x=\frac{2-1}{5}=0,2$
левите точки на всеки правоъгълник ни позволяват да изчислим височината на горните правоъгълници.
Така $1;1,2;1,4;1,6;1,8$ и така височините на горните правоъгълници са $f(1);f(1,2);f(1,4);f(1,6);f(1,8)$, а височините на долните правоъгълници са
$f(1,2);f(1,4);f(1,6);f(1,8);f(2)$ тогава
$S=\underset{i=1}{\overset{5}{\sum }}h_{i}\Delta x=0,2\left( f(1)+f(1,2)+f(1,4)+f(1,6)+f(1,8)\right) =0,2\left( 1+\frac{1}{\frac{6}{5}}+\frac{1}{\frac{7}{5}}+\frac{1}{\frac{8}{5}}+\frac{1}{\frac{9}{5}}\right) $
$S=\underset{i=1}{\overset{5}{\sum }}h_{i}\Delta x=0,2\left( 1+\frac{5}{6}+\frac{5}{7}+\frac{5}{8}+\frac{5}{9}\right) \approx 0,746$

$s=\underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x=0,2\left( f(1,2)+f(1,4)+f(1,6)+f(1,8)+f(2)\right) =0,2\left( \frac{1}{\frac{6}{5}}+\frac{1}{\frac{7}{5}}+\frac{1}{\frac{8}{5}}+\frac{1}{\frac{9}{5}}+\frac{1}{2}\right)$ $s=\underset{i=1}{\overset{4}{\sum }}h_{i}\Delta x=0,2\left( \frac{5}{6}+\frac{5}{7}+\frac{5}{8}+\frac{5}{9}+\frac{1}{2}\right) \approx 0,646$ и тъй като $s\leq \text{Лице} \leq S$ тогава

$0,646\leq \text{Лице} \leq 0,746$

Решение:
$\int \left( 2x+1\right) \left( x^{2}+x\right) dx$

Полагаме $u=x^{2}+x\Longrightarrow \frac{du}{dx}=2x+1$

тогава $du=\left( 2x+1\right) dx$
Така
$\int \left( 2x+1\right) \left( x^{2}+x\right) dx=\int udu=\frac{u^{2}}{2}+C$

$\int \left( 2x+1\right) \left( x^{2}+x\right) dx=\frac{\left(x^{2}+x\right) ^{2}}{2}+C$

Решение:
$\int x^{2}\sqrt{x^{3}-5}dx$

Полагаме $u=x^{3}-5\Longrightarrow \frac{du}{dx}=3x^{2}$ тогава

$du=3x^{2}dx\Longrightarrow \frac{du}{3}=x^{2}dx$ заменяме в оригиналния интеграл

$\int x^{2}\sqrt{x^{3}-5}dx=\int \sqrt{u}\frac{du}{3}=\frac{1}{3}\int u^{1/2}du=\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}u^{3/2}+C$

$\int x^{2}\sqrt{x^{3}-5}dx=\frac{2}{9}\left( x^{3}-5\right) ^{3/2}+C=\frac{2}{9}\sqrt{\left( x^{3}-5\right) ^{3}}+C$

Решение:
Отговор: $\int \frac{-4x}{\left( 1-2x^{2}\right) ^{2}}dx=-\frac{1}{\left( 1-2x^{2}\right) }+C$

$\int \frac{-4x}{\left( 1-2x^{2}\right) ^{2}}dx$
Полагаме $u=1-2x^{2}\Longrightarrow \frac{du}{dx}=-4x$

тогава $du=-4xdx$ и $\int \frac{1}{u^{2}}du=\int u^{-2}du=-1u^{-1}+C=-\frac{1}{u}+C$

$\int \frac{-4x}{\left( 1-2x^{2}\right) ^{2}}dx=-\frac{1}{\left(1-2x^{2}\right) }+C$

Решение:
Отговор: $\int \cos ^{2}x\sin xdx=-\frac{\cos ^{3}x}{3}+C$

$\int \cos ^{2}x\sin xdx$
Правим следното полагане $u=\cos x$

производната е $\frac{du}{dx}=-\sin x\Longrightarrow -du=\sin xdx$ така

$\int \cos ^{2}x\sin xdx=-\int u^{2}du=-\frac{u^{3}}{3}+C$

$\int \cos ^{2}x\sin xdx=-\frac{\cos ^{3}x}{3}+C$

Решение:
$\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\left( x^{2}+1\right) ^{3}dx$
Полагаме $u=x^{2}+1\Longrightarrow \frac{du}{dx}=-4x$
тогава $-\frac{1}{4}du=xdx$

Ако $x\rightarrow 0$, тогава $u\rightarrow 1$ и ако $x\rightarrow 1$, тогава $u\rightarrow 2$ и замествайки в оригиналния интеграл получаваме

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}-\frac{1}{4}\left( u\right) ^{3}du=-\frac{1}{4}\left[ \frac{u^{4}}{4}\right] _{1}^{2}=-\frac{1}{4}\left[ \frac{2^{4}}{4}-\frac{1^{4}}{4}\right] =-\frac{1}{4}\left[ 4-\frac{1}{4}\right] =\underset{0}{\overset{1}{\int }}x\left( x^{2}+1\right) ^{3}dx=-\frac{15}{16}$

Решение:
$\overset{5}{\underset{1}{\int }}\frac{x}{\sqrt{2x-1}}dx$
Полагаме
$u=2x-1\Longrightarrow x=\frac{u+1}{2}$ и $\frac{du}{dx}=2\Longrightarrow \frac{1}{2}du=dx$

Сега адаптираме новите граници на интеграция
Ако $x\rightarrow 1$, то $u\rightarrow 1$ и ако $x\rightarrow 5$, то $u\rightarrow 9$ и заместваме в оригиналния интеграл
$\overset{5}{\underset{1}{\int }}\frac{x}{\sqrt{2x-1}}dx=\overset{9}{% \underset{1}{\int }}\frac{u+1}{2\sqrt{u}}\frac{1}{2}du=\frac{1}{4}\overset{9}% {\underset{1}{\int }}\left( u+1\right) u^{-1/2}du=\frac{1}{4}\overset{9}{% \underset{1}{\int }}\left( u^{1/2}+u^{-1/2}\right) du$

$\overset{5}{\underset{1}{\int }}\frac{x}{\sqrt{2x-1}}dx=\frac{1}{4}\left[ \frac{2}{3}u^{3/2}+2u^{1/2}\right] _{1}^{9}=\frac{1}{4}\left[ \frac{2}{3}% \left( 9^{3/2}\right) +2\left( 9^{1/2}\right) -\frac{2}{3}\left( 1^{3/2}\right) -2\left( 1^{1/2}\right) \right] $

$\overset{5}{\underset{1}{\int }}\frac{x}{\sqrt{2x-1}}dx=\frac{1}{4}\left[ \frac{2}{3}\left( 27\right) +2\left( 3\right) -\frac{2}{3}\left( 1\right) -2\left( 1\right) \right] =\frac{1}{4}\left( 18+6-\frac{2}{3}-2\right) =5,33$

Решение:
$\int \text{tg} ^{4}x\sec ^{2}xdx\qquad $ полагаме $u=\text{tg} x\Longrightarrow \frac{du}{dx}=\sec ^{2}x$

$du=\sec ^{2}xdx,$
Новият интеграл има вида $\int \text{tg} ^{4}x\sec ^{2}xdx=\int u^{4}du$

Тогава $\int u^{4}du=\frac{1}{5}u^{5}+C$

$\int \text{tg} ^{4}x\sec ^{2}xdx=\frac{1}{5}u^{5}+C=\frac{1}{5}\text{tg}^{5}x+C$

Решение:
Отговор: $\int \frac{\csc ^{2}x}{\text{cotg}^{3}x}dx=\frac{1}{2}\sec ^{2}x+C$

Тъй като $\csc x=\frac{1}{\sin x}\Longrightarrow \csc ^{2}x=\frac{1}{\sin ^{2}x} $ и $\text{cotg} x=\frac{\cos x}{\sin x}\Longrightarrow \frac{1}{\text{cotg}^{3}x}=\frac{\sin ^{3}x}{\cos ^{3}x}$

Така $\int \frac{\csc ^{2}x}{\text{cotg}^{3}x}dx=\int \frac{1}{\sin ^{2}x}\cdot \frac{\sin ^{3}x}{\cos ^{3}x}dx=\int \frac{\sin x}{\cos ^{3}x}dx$

Полагаме
$u=\cos x\Longrightarrow du=-\sin xdx$ then $\int \frac{\csc ^{2}x}{\text{cotg}^{3}x}dx=-\int \frac{du}{u^{3}}=-\int u^{-3}du=-\frac{-1}{2}\frac{1}{u^{2}}+C$

$\int \frac{\csc ^{2}x}{\text{cotg}^{3}x}dx=\frac{1}{2}\frac{1}{\cos ^{2}x}+C=\frac{1}{2}\sec ^{2}x+C$