Задачи от реципрочни уравнения - задачи с решения

Решение:
Забелязваме, че уравнението е реципрочно и го делим на [tex]x^2[/tex]: [tex]\frac{x^4}{x^2}-3\frac{x^3}{x^2}+4\frac{x^2}{x^2}-3\frac{x}{x^2}+\frac{1}{x^2}=0[/tex]
[tex]x^2+\frac{1}{x^2}-3(x+\frac{1}{x})+4=0[/tex]. Сега заместваме [tex]x+\frac{1}{x}=u[/tex]. Повдигайки последното равенство на квадрат [tex]x^2+2x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=u^2[/tex], или [tex]x^2+\frac{1}{x^2}=u^2-2[/tex]. Заместваме в уравнението, за да получим
[tex]u^2-2-3u+4=0[/tex], или [tex]u^2-3u+2=0[/tex]. Решенията са [tex]u_1=1[/tex] и [tex]u_2=2[/tex]. Така че или [tex]x+\frac{1}{x}=1[/tex], или [tex]x+\frac{1}{x}=2[/tex]. От първото решение получаваме [tex]x^2-x+1=0[/tex], което няма реални решения. От второто получаваме [tex]x^2-2x+1=0[/tex], което е с единствено решение [tex]x=1[/tex].

Решение:
Тъй като това е реципрочно уравнение от нечетна степен, втори тип, x=1 е решение. Групираме: [tex]x^5-1+3x^4-3x+2x^3-2x^2=0[/tex]
[tex](x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)+3x(x^3-1)+2x^2(x-1)=0[/tex]
[tex](x-1)(x^4+x^3+3x^2+x+1)+(x-1)3x(x^2+x+1)=0[/tex]
[tex](x-1)(x^4+x^3+3x^2+x+1+3x(x^2+x+1))=0[/tex]
[tex](x-1)(x^4+x^3+3x^2+x+1+3x^3+3x^2+3x)=0[/tex]
[tex](x-1)(x^4+4x^3+6x^2+4x+1)=0[/tex]
[tex](x-1)(x+1)^4=0[/tex], следователно решения са [tex]x=1[/tex] и [tex]x=-1[/tex].