Тригонометрични неравенства - задачи с решения

Решение:
Разглеждаме единичната окръжност във всеки квадрант и сравняваме знаците и големините на трите функции (вижте чертежа под решението).

Навсякъде, където [tex]\operatorname{tg} x[/tex] е дефиниран,
[tex]\sin x\cdot\cos x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos^{2}x=\operatorname{tg} x\cdot\cos^{2}x[/tex],
а във всеки квадрант [tex]0\lt \cos^{2}x<1[/tex].

I квадрант: [tex]\operatorname{tg} x>0[/tex]. Положително число, умножено по [tex]\cos^{2}x<1[/tex], намалява, затова [tex]\sin x\cdot\cos x\lt \operatorname{tg} x[/tex]. Неравенството не е изпълнено.

II квадрант: [tex]\sin x>0[/tex] и [tex]\cos x<0[/tex], следователно [tex]\operatorname{tg} x<0[/tex]. Отрицателно число, умножено по [tex]\cos^{2}x<1[/tex], се приближава към 0, т.е. се увеличава, затова [tex]\sin x\cdot\cos x>\operatorname{tg} x[/tex]. Неравенството е изпълнено.

III квадрант: [tex]\sin x<0[/tex] и [tex]\cos x<0[/tex], следователно [tex]\operatorname{tg} x>0[/tex] и както в I квадрант [tex]\sin x\cdot\cos x\lt \operatorname{tg} x[/tex]. Неравенството не е изпълнено.

IV квадрант: [tex]\sin x<0[/tex] и [tex]\cos x>0[/tex], следователно [tex]\operatorname{tg} x<0[/tex] и както във II квадрант [tex]\sin x\cdot\cos x>\operatorname{tg} x[/tex]. Неравенството е изпълнено.

Отговор: във II и IV квадрант.

Решение:
Дробта е дефинирана само там, където [tex]\operatorname{tg} x[/tex] съществува и е различен от 0, т.е. [tex]x\neq 0;\ \dfrac{\pi}{2};\ \pi;\ \dfrac{3\pi}{2};\ 2\pi[/tex].

Тъй като [tex]\cos x\le 1[/tex], числителят никога не е положителен: [tex]\cos x-1\le 0[/tex], като е равен на 0 само при [tex]x=0[/tex] и [tex]x=2\pi[/tex], които вече са изключени. Следователно в дефиниционната област числителят е отрицателен.

Дроб с отрицателен числител е положителна точно тогава, когато знаменателят е отрицателен:
[tex]\dfrac{\cos x-1}{\operatorname{tg} x}>0\Longleftrightarrow \operatorname{tg} x<0[/tex]

Тангенсът е отрицателен във II и във IV квадрант (вижте чертежа под решението):
[tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{2};\pi\right)[/tex] или [tex]x\in\left(\dfrac{3\pi}{2};2\pi\right)[/tex]

Отговор: [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{2};\pi\right)\cup\left(\dfrac{3\pi}{2};2\pi\right)[/tex]

Решение:
[tex]\sin x-\dfrac{1}{2}>0\Longleftrightarrow \sin x>\dfrac{1}{2}[/tex]

Построяваме графиките на [tex]y_{1}=\sin x[/tex] и [tex]y_{2}=\dfrac{1}{2}[/tex] (вижте чертежа под решението).

Графиките се пресичат там, където [tex]\sin x=\dfrac{1}{2}[/tex], т.е. при [tex]x=\dfrac{\pi}{6}[/tex] и [tex]x=\dfrac{5\pi}{6}[/tex].

Между тези две точки синусоидата е над правата [tex]y=\dfrac{1}{2}[/tex], а при [tex]x\in\left[0;\dfrac{\pi}{6}\right]\cup\left[\dfrac{5\pi}{6};2\pi\right][/tex] не е.

Отговор: [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{6}\right)[/tex]

Решение:
[tex]\cos x+\dfrac{1}{3}\ge 0\Longleftrightarrow \cos x\ge -\dfrac{1}{3}[/tex]

Построяваме графиките на [tex]y_{1}=\cos x[/tex] и [tex]y_{2}=-\dfrac{1}{3}[/tex] в интервала [tex]\left[0;2\pi\right][/tex] (вижте чертежа под решението).

Графиките се пресичат там, където [tex]\cos x=-\dfrac{1}{3}[/tex]. Тъй като [tex]\cos\left(\pi-t\right)=\cos\left(\pi+t\right)=-\cos t[/tex], решенията на това уравнение в [tex]\left[0;2\pi\right][/tex] са
[tex]x_{1}=\pi-\arccos\dfrac{1}{3}\approx 1{,}91[/tex] и [tex]x_{2}=\pi+\arccos\dfrac{1}{3}\approx 4{,}37[/tex]

Косинусоидата е върху правата [tex]y=-\dfrac{1}{3}[/tex] или над нея от [tex]0[/tex] до [tex]x_{1}[/tex] и от [tex]x_{2}[/tex] до [tex]2\pi[/tex].

Отговор: [tex]x\in\left[0;\ \pi-\arccos\dfrac{1}{3}\right]\cup\left[\pi+\arccos\dfrac{1}{3};\ 2\pi\right][/tex]

Решение:
[tex]8\left|\operatorname{tg} x\right|-1<0\Longleftrightarrow \left|\operatorname{tg} x\right|\lt \dfrac{1}{8}\Longleftrightarrow -\dfrac{1}{8}\lt \operatorname{tg} x\lt \dfrac{1}{8}[/tex]

Построяваме графиките на [tex]y_{1}=\left|\operatorname{tg} x\right|[/tex] и [tex]y_{2}=\dfrac{1}{8}[/tex] (вижте чертежа под решението).

В интервала [tex]\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)[/tex] тангенсът е растящ и [tex]\operatorname{tg} x=\pm\dfrac{1}{8}[/tex] при [tex]x=\pm\operatorname{arctg}\dfrac{1}{8}[/tex] (аркустангенсът е нечетна функция, затова [tex]\operatorname{arctg}\left(-\dfrac{1}{8}\right)=-\operatorname{arctg}\dfrac{1}{8}[/tex]).

Следователно в този интервал решението е [tex]x\in\left(-\operatorname{arctg}\dfrac{1}{8};\operatorname{arctg}\dfrac{1}{8}\right)[/tex].

Периодът на тангенса е [tex]\pi[/tex], затова добавяме [tex]k\pi[/tex].

Отговор: [tex]x\in\left(-\operatorname{arctg}\dfrac{1}{8}+k\pi;\ \operatorname{arctg}\dfrac{1}{8}+k\pi\right),\ k\in\mathbb{Z}[/tex]

Решение:
Тъй като [tex]-1\le\sin 2x\le 1[/tex], за знаменателя имаме [tex]0\le 1-\sin 2x\le 2[/tex], т.е. той никога не е отрицателен.

Знаменателят е 0, когато [tex]\sin 2x=1[/tex], т.е. [tex]2x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi[/tex], [tex]x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi[/tex]. В [tex]\left(0;2\pi\right][/tex] това са [tex]x=\dfrac{\pi}{4}[/tex] и [tex]x=\dfrac{5\pi}{4}[/tex], които трябва да изключим.

Навсякъде другаде знаменателят е положителен, затова дробта е отрицателна точно тогава, когато числителят е отрицателен:
[tex]\cos x<0\Longleftrightarrow x\in\left(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right)[/tex]

От този интервал премахваме [tex]x=\dfrac{5\pi}{4}[/tex] ([tex]\dfrac{\pi}{4}[/tex] и без това не е в него).

Отговор: [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right)\setminus\left\{\dfrac{5\pi}{4}\right\}[/tex], т.е. [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{5\pi}{4}\right)\cup\left(\dfrac{5\pi}{4};\dfrac{3\pi}{2}\right)[/tex]

Решение:
Разкриваме лявата страна по формулата за синус от разлика:
[tex]\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin x\cos\dfrac{\pi}{3}-\cos x\,\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}\sin x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x[/tex]

Неравенството добива вида
[tex]\dfrac{1}{2}\sin x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x>\sin x[/tex]
Умножаваме по 2:
[tex]\sin x-\sqrt{3}\cos x>2\sin x[/tex]
[tex]\sin x+\sqrt{3}\cos x<0[/tex]

Тъй като [tex]\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\left(\dfrac{1}{2}\sin x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)[/tex], получаваме
[tex]\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)<0[/tex]

При [tex]x\in\left[0;2\pi\right][/tex] имаме [tex]x+\dfrac{\pi}{3}\in\left[\dfrac{\pi}{3};\dfrac{7\pi}{3}\right][/tex], а в този интервал синусът е отрицателен само при [tex]x+\dfrac{\pi}{3}\in\left(\pi;2\pi\right)[/tex].

Следователно [tex]x\in\left(\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{5\pi}{3}\right)[/tex].

Отговор: [tex]x\in\left(\dfrac{2\pi}{3};\dfrac{5\pi}{3}\right)[/tex]

Решение:
Тъй като точката [tex]\left(p;q\right)[/tex] лежи на окръжността, [tex]p^{2}+q^{2}=r^{2}[/tex], следователно съществува ъгъл [tex]\theta[/tex], за който
[tex]p=r\cos\theta,\quad q=r\sin\theta[/tex] (вижте чертежа).



Делим неравенството на [tex]r>0[/tex]:
[tex]\cos\theta\,\sin x-\sin\theta\cos x>\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow \sin\left(x-\theta\right)>\dfrac{1}{2}[/tex]

Следователно
[tex]x-\theta\in\left(\dfrac{\pi}{6}+2n\pi;\ \dfrac{5\pi}{6}+2n\pi\right),\quad n\in\mathbb{Z}[/tex]
[tex]x\in\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}+2n\pi;\ \theta+\dfrac{5\pi}{6}+2n\pi\right)[/tex]

Сравняваме с [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{3};\pi\right)[/tex]: [tex]\theta+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}[/tex] и [tex]\theta+\dfrac{5\pi}{6}=\pi[/tex], откъдето [tex]\theta=\dfrac{\pi}{6}[/tex] (с точност до кратно на [tex]2\pi[/tex]).

Тогава
[tex]\dfrac{p}{q}=\dfrac{r\cos\theta}{r\sin\theta}=\operatorname{cotg}\theta=\operatorname{cotg}\dfrac{\pi}{6}=\sqrt{3}[/tex]

Отговор: [tex]\dfrac{p}{q}=\sqrt{3}[/tex]

Решение:
Върху единичната окръжност [tex]\sin x[/tex] е ординатата на точката, която съответства на [tex]x[/tex]. Построяваме хоризонталната права [tex]y=\dfrac{1}{2}[/tex]; тя пресича окръжността в точките [tex]M_{0}[/tex] и [tex]M_{1}[/tex].



Тези точки съответстват на решенията на уравнението [tex]\sin x=\dfrac{1}{2}[/tex]:
[tex]x=\dfrac{\pi}{6}+2n\pi[/tex] или [tex]x=\dfrac{5\pi}{6}+2n\pi,\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Неравенството е изпълнено за точките от дъгата [tex]M_{0}BM_{1}[/tex], която е върху правата или над нея, при движение обратно на часовниковата стрелка от [tex]M_{0}[/tex] до [tex]M_{1}[/tex].

Отговор: [tex]x\in\left[\dfrac{\pi}{6}+2n\pi;\ \dfrac{5\pi}{6}+2n\pi\right],\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Решение:
Построяваме графиките на [tex]f(x)=\cos x[/tex] и [tex]g(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex] в интервала [tex]\left[0;2\pi\right][/tex].



Графиките се пресичат там, където [tex]\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex], т.е. при [tex]x=\dfrac{\pi}{4}[/tex] и [tex]x=\dfrac{7\pi}{4}[/tex].

От чертежа се вижда, че [tex]f(x)\ge g(x)[/tex] (оцветените части) при
[tex]x\in\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]\cup\left[\dfrac{7\pi}{4};2\pi\right][/tex]

Отговор: [tex]x\in\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]\cup\left[\dfrac{7\pi}{4};2\pi\right][/tex]

Решение:
Използваме [tex]\sin 2x=2\sin x\cos x[/tex] и получаваме
[tex]2\sin x\cos x-6\cos x>0[/tex]
[tex]2\cos x\left(\sin x-3\right)>0[/tex]

Тъй като [tex]\sin x\le 1[/tex], множителят [tex]\sin x-3[/tex] винаги е отрицателен. Затова произведението е положително точно тогава, когато [tex]\cos x<0[/tex].

Това съответства на графиките на [tex]f(x)=\sin 2x[/tex] и [tex]g(x)=6\cos x[/tex] в интервала [tex]\left[0;2\pi\right][/tex]: [tex]f(x)>g(x)[/tex] при [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right)[/tex].



Двете функции се повтарят през [tex]2\pi[/tex], затова и решението се повтаря през [tex]2\pi[/tex].

Отговор: [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{2}+2n\pi;\ \dfrac{3\pi}{2}+2n\pi\right),\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Решение:
Тангенсът има период [tex]\pi[/tex], затова е достатъчно да решим неравенството в един период, [tex]\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)[/tex], и после да добавим [tex]n\pi[/tex].

В този интервал тангенсът е растящ, [tex]\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{4}=1[/tex] и [tex]\operatorname{tg} x\to+\infty[/tex] при [tex]x\to\dfrac{\pi}{2}[/tex]. Следователно [tex]\operatorname{tg} x\ge 1[/tex] ⇔ [tex]x\in\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}\right)[/tex]. Точката [tex]\dfrac{\pi}{2}[/tex] се изключва, защото [tex]\operatorname{tg}\dfrac{\pi}{2}[/tex] не е дефиниран.

Върху единичната окръжност (вижте чертежа под решението) това са точките от дъгата от [tex]\dfrac{\pi}{4}[/tex] до [tex]\dfrac{\pi}{2}[/tex] и, един период по-късно, от [tex]\dfrac{5\pi}{4}[/tex] до [tex]\dfrac{3\pi}{2}[/tex].

Отговор: [tex]x\in\left[\dfrac{\pi}{4}+n\pi;\ \dfrac{\pi}{2}+n\pi\right),\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Решение:
Разглеждаме графиките на [tex]f(x)=\sin x[/tex] и [tex]g(x)=\cos x[/tex] и първо намираме пресечните им точки:
[tex]\sin x=\cos x\Longleftrightarrow \operatorname{tg} x=1[/tex] (можем да разделим на [tex]\cos x[/tex]: ако [tex]\cos x=0[/tex], то [tex]\sin x=\pm 1\neq\cos x[/tex]).

В [tex]\left[0;2\pi\right][/tex] получаваме [tex]x_{1}=\dfrac{\pi}{4}[/tex], [tex]x_{2}=\dfrac{5\pi}{4}[/tex].



От чертежа се вижда, че [tex]f(x)>g(x)[/tex] (оцветената област) при [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{5\pi}{4}\right)[/tex].

Отговор: [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{4};\dfrac{5\pi}{4}\right)[/tex]

Решение:
Построяваме графиките на [tex]f(x)=\sqrt{3}\cos x[/tex] и [tex]g(x)=1+\sin x[/tex] в [tex]\left[0;2\pi\right][/tex] и търсим пресечните им точки [tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex].



[tex]f(x)=g(x)\Longleftrightarrow \sqrt{3}\cos x=1+\sin x\Longleftrightarrow \sin x-\sqrt{3}\cos x=-1[/tex]

Тъй като [tex]\sin x-\sqrt{3}\cos x=2\left(\dfrac{1}{2}\sin x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)[/tex],
[tex]\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}[/tex]

При [tex]x\in\left(0;2\pi\right)[/tex] имаме [tex]x-\dfrac{\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{3};\dfrac{5\pi}{3}\right)[/tex], затова
[tex]x-\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{6}[/tex] или [tex]x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{6}[/tex]
[tex]x_{1}=\dfrac{\pi}{6},\quad x_{2}=\dfrac{3\pi}{2}[/tex]

От чертежа се вижда, че [tex]f(x)\lt g(x)[/tex] между [tex]x_{1}[/tex] и [tex]x_{2}[/tex] (проверка: при [tex]x=\pi[/tex] получаваме [tex]-\sqrt{3}<1[/tex]).

Отговор: [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{6};\dfrac{3\pi}{2}\right)[/tex]