Задачи от прогресии - задачи с решения

Решение:
Знаем, че [tex]2b=1+c[/tex] и [tex]b^2=1.(c+1)=1+c=2b[/tex]. Следователно или [tex]b=0[/tex], или [tex]b=2[/tex]. Но 0 не може да бъде член на геометрична прогресия, затова единствен вариант остава [tex]b=2[/tex]. Тогава аритметичната прогресия е [tex]1,2,c[/tex], откъдето [tex]c+1=2.2[/tex] => [tex]c=3[/tex].

Решение:
Сумата е [tex]a-1+b+2+c+13=(a+b+c)-1+2+13=341-1+15=355[/tex].

Решение:
Тъй като [tex]a,1,b[/tex] е аритметична прогресия, [tex]a+b=2[/tex], следователно [tex]b=2-a[/tex], а от свойството на геометричната прогресия получаваме [tex]a^2=b=2-a[/tex]
[tex]a^2+a-2=0[/tex]: [tex]a_1=1[/tex] или [tex]a_2=-2[/tex]. Но аритметичната прогресия не е константна редица, следователно, [tex]a \ne 1[/tex], откъдето a трябва да е -2. [tex]b=2-a=2-(-2)=4[/tex].

Решение:
От свойството на геометричната прогресия, получаваме
[tex]a.b=9.243=3^2.3^5=3^7[/tex]. Освен това знаем, че [tex]\frac{a}{9}=\frac{b}{a}[/tex], или [tex]\frac{a^2}{9}=b[/tex]. Замествайки го в предното получено уравнение, имаме [tex]\frac{a^3}{9}=3^7[/tex], или [tex]a^3=3^9[/tex], откъдето [tex]a=3^3=27[/tex]. Тогава [tex]b=\frac{a^2}{9}=81[/tex] и тяхното средно аритметично е [tex]\frac{27+81}{2}=\frac{108}{2}=54[/tex].

Решение:
От свойството на средния член в аритметична прогресия, имаме [tex]3+a=2.9[/tex], или [tex]a=15[/tex]. Геометричната прогресия придобива вида [tex]5,15,b[/tex]. От свойството на нейния среден член, [tex]b.5=15^2=225[/tex], или [tex]b=\frac{225}{5}=45[/tex].

Решение:
От свойството за средния член на геометрична прогресия имаме [tex]2x=4^2[/tex], или [tex]x=8[/tex]. От същото свойство на аритметичната прогресия: [tex]3+y=2x=2.8=16[/tex], откъдето [tex]y=16-3=13[/tex].

Решение:
Използва се едно от свойствата на прогресиите и то е събирането на индексите, в случая имаме $a_1$ и $a_9$, гледаме индексите и $1+9= 10$. От всички изброени члена всеки като го съберем, с някой друг се получава сбор $10$. От това следва, че и при тях ще се получава $21$.
Пример: $a_1+а_9= 21$
$a_2 + a_8= 21$ $a_3 + a_7= 21$ $a_4 + a_6= 21$. И накрая като съберем $4\times 21= 84$, което е крайния резултат.