Приложения на производните - задачи с решения

Решение:
$y=\frac{x^{3}}{4}-3x\Longrightarrow y'=\frac{3}{4}x^{2}-3$

Решаваме $y'=0$:

$\frac{3}{4}x^{2}=3\Longrightarrow x^{2}=4\Longrightarrow x=\pm 2$

Интервалите на монотонност са $\left( -\infty ,-2\right),\ \left( -2,2\right),\ \left( 2,\infty \right)$

Проверяваме знака на производната в по една точка от всеки интервал:

$y'(-3)=\frac{3}{4}(-3)^{2}-3=\frac{27}{4}-3>0$, значи функцията расте в $\left( -\infty ,-2\right)$

$y'(0)=\frac{3}{4}(0)^{2}-3=-3<0$, значи функцията намалява в $\left( -2,2\right)$

$y'(3)=\frac{3}{4}(3)^{2}-3=\frac{27}{4}-3>0$, значи функцията расте в $\left( 2,\infty \right)$

Отговор: расте в $\left( -\infty ,-2\right)$ и $\left( 2,\infty \right)$, намалява в $\left( -2,2\right)$

Решение:
$f(x)=x^{4}-2x^{2}\Longrightarrow f'(x)=4x^{3}-4x=0$
Решаваме уравнението:

$4x^{3}-4x=4x(x^{2}-1)=0\Longrightarrow x=0,\ -1,\ 1$

Интервалите на монотонност са $(-\infty ,-1),\ (-1,0),\ (0,1),\ (1,\infty )$

Пресмятаме $f'(a)$ за по една стойност $a$ от всеки интервал:

$f'(-2)=4(-2)^{3}-4(-2)=-32+8<0$, значи $f$ намалява в $(-\infty ,-1)$

$f'(-\frac{1}{2})=4\left( -\frac{1}{2}\right)^{3}-4\left( -\frac{1}{2}\right) =-\frac{1}{2}+2>0$, значи $f$ расте в $(-1,0)$

$f'(\frac{1}{2})=4\left( \frac{1}{2}\right)^{3}-4\left( \frac{1}{2}\right) =\frac{1}{2}-2<0$, значи $f$ намалява в $(0,1)$

$f'(2)=4(2)^{3}-4(2)=32-8>0$, значи $f$ расте в $(1,\infty )$

Твърдение (i) е невярно, защото при $x=0$ функцията преминава от растяща към намаляваща.

Отговор: (ii), (iii), (iv) са верни.

Решение:
$h(x)=27x-x^{3}\Longrightarrow h'(x)=27-3x^{2}=0\Longrightarrow x=\pm 3$

Интервалите на монотонност са $\left( -\infty ,-3\right),\ \left( -3,3\right),\ \left( 3,\infty \right)$

$h'(-4)=27-3\left( -4\right)^{2}=27-48<0\Longrightarrow$ функцията намалява в $\left( -\infty ,-3\right)$

$h'(0)=27-3\left( 0\right)^{2}=27>0\Longrightarrow$ функцията расте в $\left( -3,3\right)$

$h'(4)=27-3\left( 4\right)^{2}=27-48<0\Longrightarrow$ функцията намалява в $\left( 3,\infty \right)$

Отговор: расте в $\left( -3,3\right)$ и намалява в $\left( -\infty ,-3\right) \cup \left( 3,\infty \right)$

Решение:
$y=x+\frac{4}{x}\Longrightarrow y'=1-\frac{4}{x^{2}}=\frac{x^{2}-4}{x^{2}}$

$y'=0$ при $x^{2}-4=0$, т.е. $x=\pm 2$. Точката $x=0$ не принадлежи на дефиниционното множество, но също разделя числовата ос.

Интервалите на монотонност са $\left( -\infty ,-2\right),\ \left( -2,0\right),\ \left( 0,2\right),\ \left( 2,\infty \right)$

$y'(-3)=\frac{9-4}{9}>0$, значи функцията расте в $\left( -\infty ,-2\right)$

$y'(-1)=\frac{1-4}{1}<0$, значи функцията намалява в $\left( -2,0\right)$

$y'(1)=\frac{1-4}{1}<0$, значи функцията намалява в $\left( 0,2\right)$

$y'(3)=\frac{9-4}{9}>0$, значи функцията расте в $\left( 2,\infty \right)$

Отговор: расте в $\left( -\infty ,-2\right) \cup \left( 2,\infty \right)$ и намалява в $\left( -2,0\right) \cup \left( 0,2\right)$

Решение:
Първо намираме критичните точки:

$f'(x)=2\left( x-1\right) \left( x+3\right) +\left( x-1\right)^{2}$

$f'(x)=2x^{2}+4x-6+x^{2}-2x+1=3x^{2}+2x-5=0$

$x=\frac{-2\pm \sqrt{4+60}}{6}=\frac{-2\pm 8}{6}\Longrightarrow x=1$ и $x=-\frac{5}{3}$

$f(1)=0$ и $f\left( -\frac{5}{3}\right) =\left( -\frac{8}{3}\right)^{2}\cdot \frac{4}{3}=\frac{256}{27}$, значи критичните точки са $\left( 1,0\right)$ и $\left( -\frac{5}{3},\frac{256}{27}\right)$ и твърдение a) е вярно.

Сега проверяваме знака на $f'$ във всеки интервал:

$f'(-2)=12-4-5=3>0$, значи $f$ расте в $\left( -\infty ,-\frac{5}{3}\right)$

$f'(0)=-5<0$, значи $f$ намалява в $\left( -\frac{5}{3},1\right)$

$f'(2)=12+4-5=11>0$, значи $f$ расте в $\left( 1,\infty \right)$

Това доказва b). Производната сменя знака си от $+$ на $-$ при $x=-\frac{5}{3}$ и от $-$ на $+$ при $x=1$, значи има максимум в $\left( -\frac{5}{3},\frac{256}{27}\right)$ и минимум в $\left( 1,0\right)$, което доказва c).

Отговор: всички са верни.

Решение:
$f(x)=x^{4}-32x+4\Longrightarrow f'(x)=4x^{3}-32=0$

$4x^{3}=32\Longrightarrow x^{3}=8\Longrightarrow x=2$

Значи единствената критична точка е $x=2$, а не $x=4$: твърдение a) е невярно.

$f'(0)=-32<0$, значи функцията намалява в $\left( -\infty ,2\right)$ и твърдение b) е невярно.

$f'(3)=108-32>0$, значи функцията расте в $\left( 2,\infty \right)$. Производната сменя знака си от $-$ на $+$ при $x=2$, следователно там има минимум и твърдение c) е вярно.

Отговор: вярно е само c).

Решение:
$f(x)=\left( x+2\right)^{2/3}\Longrightarrow f'(x)=\frac{2}{3}\left( x+2\right)^{-1/3}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x+2}}$

Производната никога не е равна на нула, но не съществува при $x=-2$. Тъй като $f(-2)=0$, единствената критична точка е $\left( -2,0\right)$ и твърдение a) е невярно.

За $x<-2$ имаме $\sqrt[3]{x+2}<0$, значи $f'(x)<0$ и функцията намалява в $\left( -\infty ,-2\right)$

За $x>-2$ имаме $\sqrt[3]{x+2}>0$, значи $f'(x)>0$ и функцията расте в $\left( -2,\infty \right)$

Това е точно обратното на твърдение b), значи b) е невярно.

Производната сменя знака си от $-$ на $+$ при $x=-2$, значи точката $\left( -2,0\right)$ е минимум, а не максимум, и c) е невярно.

Отговор: всички са неверни.

Решение:
Диференцираме два пъти:

$f(x)=\frac{1}{4}x^{4}-2x^{2}\Longrightarrow f'(x)=x^{3}-4x\Longrightarrow f''(x)=3x^{2}-4$

$f''(x)=0\Longrightarrow x=\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Интервалите на изпъкналост са $\left( -\infty ,-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right),\ \left( -\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3}\right),\ \left( \frac{2\sqrt{3}}{3},\infty \right)$

Пресмятаме $f''(c)$ в по една точка $c$ от всеки интервал:

$f''(-2)=3\cdot 4-4=8>0\Longrightarrow f$ е изпъкнала в $\left( -\infty ,-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$

$f''(0)=-4<0\Longrightarrow f$ е вдлъбната в $\left( -\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$

$f''(2)=8>0\Longrightarrow f$ е изпъкнала в $\left( \frac{2\sqrt{3}}{3},\infty \right)$

$f\left( \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}\right) =\frac{1}{4}\cdot \frac{16}{9}-2\cdot \frac{4}{3}=\frac{4}{9}-\frac{8}{3}=-\frac{20}{9}$

И в двете точки втората производна сменя знака си, значи инфлексните точки са $\left( -\frac{2\sqrt{3}}{3},-\frac{20}{9}\right)$ и $\left( \frac{2\sqrt{3}}{3},-\frac{20}{9}\right)$

Отговор: C

Решение:
Диференцираме два пъти:

$f(x)=2x^{4}-8x+3\Longrightarrow f'(x)=8x^{3}-8\Longrightarrow f''(x)=24x^{2}$

Втората производна се анулира само при $x=0$, но там не сменя знака си, значи няма инфлексна точка.

$f''(x)=24x^{2}\geq 0$ значи функцията е изпъкнала в $\left( -\infty ,\infty \right)$.

Отговор: A

Решение:
Диференцираме два пъти:

$y=-x^{3}+3x^{2}-2\Longrightarrow y'=-3x^{2}+6x\Longrightarrow y''=-6x+6$

$y''=0\Longrightarrow x=1$

Интервалите на изпъкналост са $\left( -\infty ,1\right)$, $\left( 1,\infty \right)$

Проверяваме знака на втората производна:

$y''(0)=6>0$, значи функцията е изпъкнала в $\left( -\infty ,1\right)$

$y''(2)=-6<0$, значи функцията е вдлъбната в $\left( 1,\infty \right)$

Втората производна сменя знака си при $x=1$.

Отговор: B

Решение:
Диференцираме два пъти:

$f(x)=-x^{3}+6x^{2}-9x-1\Longrightarrow f'(x)=-3x^{2}+12x-9\Longrightarrow f''(x)=-6x+12$

$f''(x)=0\Longrightarrow x=2$

Интервалите на изпъкналост са $\left( -\infty ,2\right)$, $\left( 2,\infty \right)$

Проверяваме знака на втората производна:

$f''(0)=12>0$, значи функцията е изпъкнала в $\left( -\infty ,2\right)$

$f''(3)=-6<0$, значи функцията е вдлъбната в $\left( 2,\infty \right)$

Втората производна сменя знака си при $x=2$.

Отговор: D

Решение:
Намираме критичните точки:

$f'(x)=4x^{3}-12x^{2}=4x^{2}(x-3)=0$ значи $x=0$ и $x=3$

Втората производна е $f''(x)=12x^{2}-24x=12x(x-2)$

При $x=3$ имаме $f''(3)=36>0$, значи в $\left( 3,-25\right)$ има минимум.

При $x=0$ производната $f'(x)=4x^{2}(x-3)$ не сменя знака си, значи там няма екстремум.

$f(3)=81-108+2=-25$

$f''$ сменя знака си при $x=0$ и при $x=2$, следователно инфлексните точки са $\left( 0,2\right)$ и $\left( 2,-14\right)$.

$f''(-1)=36>0,\ f''(1)=-12<0,\ f''(3)=36>0$, значи $f$ е изпъкнала в $\left( -\infty ,0\right) \cup \left( 2,\infty \right)$ и вдлъбната в $\left( 0,2\right)$.

Отговор: A

Решение:
Производната е $f'(x)=\frac{2}{3}x^{-1/3}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$

Тя никога не е равна на нула и не съществува при $x=0$, значи единствената критична точка е $\left( 0,-3\right)$.

За $x<0$ имаме $f'(x)<0$, а за $x>0$ имаме $f'(x)>0$, значи функцията първо намалява, а после расте: в $\left( 0,-3\right)$ има минимум.

Втората производна е $f''(x)=-\frac{2}{9}x^{-4/3}=-\frac{2}{9\sqrt[3]{x^{4}}}$

Тя е отрицателна за всяко $x\neq 0$, значи графиката е вдлъбната в $\left( -\infty ,0\right)$ и в $\left( 0,\infty \right)$ и няма инфлексна точка.

Отговор: C

Решение:
По правилото за диференциране на сложна функция:

$f'(x)=2\left( \left( x^{2}+3\right)^{5}+x\right) \cdot \left( 5\left( x^{2}+3\right)^{4}\cdot 2x+1\right)$

$f'(x)=2\left( \left( x^{2}+3\right)^{5}+x\right) \left( 10x\left( x^{2}+3\right)^{4}+1\right)$

Заместваме $x=-1$:

$\left( -1\right)^{2}+3=4,\ 4^{5}=1024,\ 4^{4}=256$

$f'(-1)=2\left( 1024-1\right) \left( 10\cdot \left( -1\right) \cdot 256+1\right) =2\cdot 1023\cdot \left( -2559\right)$

$f'(-1)=-5235714$

Отговор: $f'(-1)=-5235714$

Решение:
По правилото за диференциране на сложна функция:

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{x}}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{2+\sqrt{x}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Заместваме $x=4$:

$\sqrt{4}=2,\ \sqrt{2+2}=2,\ \sqrt{2+2}=2$

$f'(4)=\frac{1}{2\cdot 2}\cdot \frac{1}{2\cdot 2}\cdot \frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{64}$

Отговор: $f'(4)=\frac{1}{64}$

Решение:
Диференцираме:

$f(x)=\sqrt{25-x^{2}}\Longrightarrow f'(x)=\frac{-2x}{2\sqrt{25-x^{2}}}=\frac{-x}{\sqrt{25-x^{2}}}$

Ъгловият коефициент на допирателната при $x=3$ е $f'(3)=\frac{-3}{\sqrt{25-9}}=\frac{-3}{4}$

Уравнението на допирателната през точката $(3,4)$ е:

$y-4=-\frac{3}{4}\left( x-3\right)$

$4y-16=-3x+9$

$4y+3x=25$

Отговор: A

Решение:
При $t=\frac{\pi }{8}$ имаме $12t=\frac{3\pi }{2}$, значи $\cos \frac{3\pi }{2}=0$, $\sin \frac{3\pi }{2}=-1$

Положението е $y=\frac{1}{3}\cdot 0-\frac{1}{4}\cdot \left( -1\right) =\frac{1}{4}$ м

Диференцираме, за да намерим скоростта:

$y'=-\frac{12}{3}\sin 12t-\frac{12}{4}\cos 12t=-4\sin 12t-3\cos 12t$

$y'\left( \frac{\pi }{8}\right) =-4\cdot \left( -1\right) -3\cdot 0=4$, значи скоростта е $4$ м/с

Отговор: A

Решение:
Тъй като $\left\vert \cos 8t\right\vert \leq 1$, най-голямата стойност на $\theta $ е $0{,}2$ рад, която се достига при $\cos 8t=1$.

Диференцираме по времето: $\theta =0{,}2\cos 8t\Longrightarrow \frac{d\theta }{dt}=-1{,}6\sin 8t$

Скоростта на изменение при $t=3$ секунди е:

$\frac{d\theta }{dt}(3)=-1{,}6\sin \left( 8\cdot 3\right) =-1{,}6\sin 24\approx -1{,}6\cdot \left( -0{,}9056\right) \approx 1{,}449$ рад/с

(ъгълът $8\cdot 3=24$ е в радиани, а не в градуси)

Отговор: C