Задачи от линейни уравнения с параметър - задачи с решения

Решение:
Коефициентът пред [tex]x[/tex] е [tex]1[/tex] и той никога не е нула, затова при всяка стойност на параметъра уравнението има точно едно решение.
Вадим [tex]a[/tex] от двете страни:
[tex]x=2a+1-a[/tex]
[tex]x=a+1[/tex]
Следователно за всяко реално [tex]a[/tex] уравнението има единствено решение [tex]x=a+1[/tex].

Решение:
Ако [tex]x=2[/tex] е решение, то замествайки, трябва да получим вярно равенство. Заместваме [tex]x=2[/tex] в уравнението:
[tex]a\cdot 2=a+3[/tex]
Сега имаме обикновено линейно уравнение, но този път неизвестното е параметърът [tex]a[/tex]:
[tex]2a-a=3[/tex]
[tex]a=3[/tex]
Проверка: при [tex]a=3[/tex] уравнението е [tex]3x=6[/tex], чието решение наистина е [tex]x=2[/tex].
Отговор: [tex]a=3[/tex]

Решение:
Ако можем да разделим на [tex]a[/tex], винаги ще получим решението [tex]x=\frac{1}{a}[/tex]. Нека провереим случая в който не можем да делим на [tex]a[/tex], т.е. [tex]a=0[/tex]. Тогава получаваме уравнението [tex]0x=1[/tex], което очевидно няма решения. Отговор на задачата е [tex]a=0[/tex].

Решение:
Уравнение от вида [tex]mx=b[/tex] няма решение само когато коефициентът [tex]m[/tex] е нула, а [tex]b[/tex] не е. Затова първо приравняваме коефициента на нула:
[tex]a^3+1=0[/tex]
[tex]a^3=-1[/tex]
[tex]a=-1[/tex]
Проверяваме дясната страна при [tex]a=-1[/tex]: [tex]109+(-1)=108[/tex], което не е нула. Уравнението става [tex]0x=108[/tex] и наистина няма решение.
Отговор: [tex]a=-1[/tex].

Решение:
Уравнението може да няма решение само когато коефициентът пред [tex]x[/tex] е нула:
[tex]a^2-1=0[/tex], тоест [tex]a=1[/tex] или [tex]a=-1[/tex].
Трябва да проверим и двете стойности, защото нулевият коефициент не е достатъчен — дясната страна също трябва да е различна от нула.
При [tex]a=1[/tex]: [tex]0x=2[/tex] — няма решение.
При [tex]a=-1[/tex]: [tex]0x=0[/tex] — всяко [tex]x[/tex] е решение.
Следователно търсената стойност е само [tex]a=1[/tex].

Решение:
Тук неизвестното се среща и от двете страни, затова първо прехвърляме членовете с [tex]x[/tex] отляво, а останалите отдясно:
[tex]ax-2x=a-4[/tex]
[tex](a-2)x=a-4[/tex]
Едва сега можем да разгледаме коефициента. Той е нула при [tex]a=2[/tex], а тогава дясната страна е [tex]2-4=-2[/tex], което не е нула.
Уравнението става [tex]0x=-2[/tex] и няма решение.
Отговор: [tex]a=2[/tex]

Решение:
За всяко [tex]x[/tex], стойността на лявата страна е нула. Имаме [tex]b-7=0[/tex], или [tex]b=7[/tex]. Замествайки с [tex]b=7[/tex], получаваме [tex]0x=0[/tex], което има безкрайно много (повече от едно) решения.

Решение:
За да има такова уравнение всяко [tex]x[/tex] като решение, то трябва да е от вида [tex]0x=0[/tex]. Откъдето следва, че [tex](a-2)=(a-2)^2=0[/tex], или [tex]a=2[/tex].

Решение:
Всяко [tex]x[/tex] е решение само ако уравнението е от вида [tex]0x=0[/tex]. Това означава, че и коефициентът, и дясната страна трябва да са нула:
[tex]a-4=0[/tex] и [tex]a^2-16=0[/tex]
От първото уравнение [tex]a=4[/tex]. Проверяваме във второто: [tex]4^2-16=0[/tex] — изпълнено е.
При [tex]a=4[/tex] уравнението става [tex]0x=0[/tex] и всяко реално число е решение.
(При [tex]a\neq 4[/tex] можем да разделим на [tex]a-4[/tex] и получаваме единственото решение [tex]x=a+4[/tex].)
Отговор: [tex]a=4[/tex].

Решение:
Уравнението има безбройно много решения само когато е от вида [tex]0x=0[/tex]. Затова и коефициентът, и дясната страна трябва да са нула.
От [tex]a+1=0[/tex] получаваме [tex]a=-1[/tex]. Проверяваме дясната страна: [tex](-1)^2-1=0[/tex] — и тя се занулява.
При [tex]a=-1[/tex] уравнението е [tex]0x=0[/tex] и всяко реално число е решение.
(При [tex]a\neq -1[/tex] разлагаме [tex]a^2-1=(a-1)(a+1)[/tex] и делим, откъдето единственото решение е [tex]x=a-1[/tex].)
Отговор: [tex]a=-1[/tex]

Решение:
Всичко зависи от коефициента [tex]a[/tex].
Първи случай: [tex]a\neq 0[/tex]. Разделяме двете страни на [tex]a[/tex] и получаваме единственото решение [tex]x=4[/tex]. Забележете, че това решение не зависи от параметъра.
Втори случай: [tex]a=0[/tex]. Уравнението става [tex]0x=0[/tex], което е вярно за всяко [tex]x[/tex], тоест всяко реално число е решение.

Решение:
Разлагаме дясната страна:
[tex](a-3)x=(a-3)(a+3)[/tex]
Всичко зависи от коефициента [tex]a-3[/tex].
Първи случай: [tex]a\neq 3[/tex]. Тогава [tex]a-3\neq 0[/tex] и можем да разделим двете страни на него, откъдето получаваме единственото решение [tex]x=a+3[/tex].
Втори случай: [tex]a=3[/tex]. Уравнението става [tex]0x=0[/tex], което е вярно за всяко [tex]x[/tex], тоест всяко реално число е решение.
Забележете, че няма стойност на [tex]a[/tex], при която това уравнение да няма решение.

Решение:
Дясната страна е [tex]5[/tex] и тя никога не е нула, затова уравнението не може да бъде от вида [tex]0x=0[/tex] — безбройно много решения тук са невъзможни.
Първи случай: [tex]a\neq 1[/tex]. Тогава [tex]a-1\neq 0[/tex] и делим на него: [tex]x=\frac{5}{a-1}[/tex].
Втори случай: [tex]a=1[/tex]. Уравнението става [tex]0x=5[/tex], което е невярно за всяко [tex]x[/tex], тоест няма решение.

Решение:
Ако това уравнение не е определено, тогава някой знаменател е 0. Единственият знаменател тук е [tex]a+5[/tex], откъдето получаваме [tex]a=-5[/tex]