Задачи от линейни уравнения с параметър - много трудни задачи с решения

Решение:
За да има уравнението всяко [tex]x \in R[/tex] за решение, то трябва да е от вида [tex]0x=0[/tex]. Което означава, че
[tex]\begin{array}{|l}a^2-7a+10=0 \\ a^2-8a+15=0\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}a^2-5a-2a+10=0 \\ a^2-5a-3a+15=0 \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}(a-5)(a-2)=0 \\ (a-5)(a-3)=0\end{array}[/tex]
Общият корен на двете уравнения е [tex]a=5[/tex], което е и решението на задачата.

Решение:
Преди да говорим за случаи, трябва да приведем уравнението към вида [tex]mx=b[/tex]. Умножаваме двете страни по [tex]4[/tex]:
[tex](ax-3)-2(x-a)=4[/tex]
[tex]ax-3-2x+2a=4[/tex]
Оставяме членовете с [tex]x[/tex] отляво, а останалите прехвърляме отдясно:
[tex](a-2)x=7-2a[/tex]
Сега изследването е обичайното. Коефициентът е нула при [tex]a=2[/tex], а тогава дясната страна е [tex]7-4=3[/tex], което не е нула. Уравнението става [tex]0x=3[/tex] и няма решение.
(При [tex]a\neq 2[/tex] има точно едно решение, [tex]x=\frac{7-2a}{a-2}[/tex].)
Отговор: [tex]a=2[/tex]

Решение:
Разкриваме скобите от двете страни:
[tex]ax-a=2ax+6-x[/tex]
Прехвърляме всички членове с [tex]x[/tex] отляво, а останалите отдясно:
[tex]ax-2ax+x=a+6[/tex]
[tex](1-a)x=a+6[/tex]
Внимавайте със знака тук — коефициентът е [tex]1-a[/tex], а не [tex]a-1[/tex].
Той се занулява при [tex]a=1[/tex], а тогава дясната страна е [tex]1+6=7[/tex], което не е нула. Уравнението става [tex]0x=7[/tex] и няма решение.
Отговор: [tex]a=1[/tex]

Решение:
Разлагаме двете страни:
[tex](a-1)(a+1)x=a(a+1)[/tex]
Коефициентът се занулява при две стойности, [tex]a=1[/tex] и [tex]a=-1[/tex], и те се държат различно, затова са ни нужни три случая.
Случай 1: [tex]a\neq 1[/tex] и [tex]a\neq -1[/tex]. Съкращаваме [tex]a+1[/tex] и делим на [tex]a-1[/tex]: [tex]x=\frac{a}{a-1}[/tex].
Случай 2: [tex]a=-1[/tex]. И двете страни се зануляват, уравнението е [tex]0x=0[/tex] и всяко реално число е решение.
Случай 3: [tex]a=1[/tex]. Лявата страна е нула, а дясната е [tex]1+1=2[/tex], тоест уравнението е [tex]0x=2[/tex] и няма решение.
Точно това е смисълът на задачата: двата корена на коефициента не дават един и същ отговор и не може да се познае кой какъв е без заместване.

Решение:
Разлагаме двете страни:
[tex]a(a-2)(a+2)x=a(a-2)[/tex]
Коефициентът се занулява при три стойности: [tex]a=0[/tex], [tex]a=2[/tex] и [tex]a=-2[/tex]. Всяка от тях трябва да се провери отделно в дясната страна.
[tex]a=0[/tex]: дясната страна е [tex]0[/tex], уравнението е [tex]0x=0[/tex] — безбройно много решения.
[tex]a=2[/tex]: дясната страна е [tex]4-4=0[/tex], уравнението е [tex]0x=0[/tex] — безбройно много решения.
[tex]a=-2[/tex]: дясната страна е [tex]4+4=8[/tex], уравнението е [tex]0x=8[/tex] — няма решение, тоест тази стойност не принадлежи на [tex]A[/tex].
Следователно [tex]A=\{0, 2\}[/tex] и сборът на елементите му е [tex]0+2=2[/tex].
Отговор: [tex]2[/tex]

Решение:
Нека първо направим едно заключение за множеството [tex]A[/tex]. Ако някой негов елемент има стойност нула, тогава произведението на всичките му елементи пак ще бъде нула, тъй като всяко число, умножено с нула, дава резултат 0. Проверяваме дали [tex]a=0[/tex] принадлежи в множеството. Замествайки в уравнението, получаваме [tex]0x=10[/tex], което няма решения. Следователно, [tex]a=0[/tex] принадлежи на множеството [tex]A[/tex], откъдето следва, че произведението на всичките му елементи е 0.

Решение:
Първо ще определим множеството [tex]A[/tex].
[tex]3<2a<15[/tex] е еквивалентно на системата неравенства
[tex]\begin{array}{|l}2a>3 \\ 2a<15\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}a>\frac{3}{2}=1\frac{1}{2} \\ a < \frac{15}{2}=7\frac{1}{2} \end{array}[/tex]
Следователно числата [tex]a_1,a_2,\dots,a_n[/tex], са целите числа (при това естествени) между [tex]1\frac{1}{2}[/tex] и [tex]7 \frac{1}{2}[/tex]. Тези числа са [tex]2,3,4,5,6,7[/tex] и съответно [tex]a_1=2,a_2=3,a_3=4,a_4=5,a_5=6,a_6=7[/tex].
Що се отнася до уравнението, ще намерим директна формула за корена му, в която после ще заместваме.
[tex](a-1)(a+1)x=(a+1)^2[/tex]. Очевидно [tex]a \ne -1[/tex], делим на [tex]a+1[/tex] и получаваме
[tex](a-1)x=a+1[/tex]. Тъй като всяко [tex]a \ge 2[/tex], [tex]a-1 \ne 0[/tex] и след деление получаваме за решенията
[tex]x=\frac{a+1}{a-1}[/tex]. Заместваме с всяко [tex]a[/tex]: [tex]x_1=\frac{a_1+1}{a_1-1}=\frac{2+1}{2-1}=3[/tex]
[tex]x_2=\frac{a_2+1}{a_2-1}=\frac{3+1}{3-1}=\frac{4}{2}=2[/tex]
[tex]x_3=\frac{a_3+1}{a_3-1}=\frac{4+1}{4-1}=\frac{5}{3}[/tex]
[tex]x_4=\frac{a_4+1}{a_4-1}=\frac{5+1}{5-1}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}[/tex]
[tex]x_5=\frac{a_5+1}{a_5-1}=\frac{6+1}{6-1}=\frac{7}{5}[/tex]
[tex]x_6=\frac{a_6+1}{a_6-1}=\frac{7+1}{7-1}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}[/tex]. Умножаваме ги:
[tex]x_1x_2x_3x_4x_5x_6=3.2.\frac{5}{3}.\frac{3}{2}.\frac{7}{5}.\frac{4}{3}=\frac{3.2.5.3.7.4}{3.2.5.3}=7.4=28[/tex]

Решение:
Коефициентът пред [tex]x[/tex] е [tex]3[/tex] и той никога не е нула, затова уравнението винаги има точно едно решение:
[tex]x=\frac{a+6}{3}[/tex]
Вместо да търсим стойностите на [tex]a[/tex] направо, по-лесно е да обърнем задачата: първо избираме решението. Условието казва, че [tex]x[/tex] може да е всяко от [tex]1, 2, 3, \ldots, 10[/tex].
От [tex]3x=a+6[/tex] изразяваме параметъра: [tex]a=3x-6[/tex]. Всеки от десетте избора на [tex]x[/tex] дава точно една стойност на [tex]a[/tex], а различни [tex]x[/tex] дават различни [tex]a[/tex]:
[tex]x=1\Rightarrow a=-3,\quad x=2\Rightarrow a=0,\quad \ldots,\quad x=10\Rightarrow a=24[/tex]
Следователно има точно десет такива стойности на параметъра.
Отговор: [tex]10[/tex]