Задачи от линейни уравнения с параметър - трудни задачи с решения

Решение:
Уравнение от вида [tex]mx=b[/tex] няма решения само ако [tex]m=0[/tex]. В този случай, [tex]a-2=0[/tex], или [tex]a=2[/tex]. Замествайки с [tex]a=2[/tex] в уравнението, получаваме [tex]0x=5[/tex], което очевидно няма решения.

Решение:
За да няма уравнението решения е задължително коефициентът пред [tex]x[/tex] да е нулев. Това означава, че или [tex]a=5[/tex], или [tex]a=1[/tex]. Замествайки с [tex]a=5[/tex], получаваме [tex]0x=5^2-2\cdot 5+1=25-10+1[/tex], което е еквивалентно на [tex]0x=16[/tex], което уравнение няма решения. Замествайки с [tex]a=1[/tex], получаваме [tex]0x=1-2+1[/tex], или [tex]0x=0[/tex], което има за решение всяко [tex]x[/tex]. Следователно единствената стойност на [tex]a[/tex], за която уравнението няма решения е [tex]a=5[/tex].

Решение:
Коефициентът трябва да е нула: [tex]a^2-9=0[/tex], тоест [tex]a=3[/tex] или [tex]a=-3[/tex]. И двете трябва да се проверят в дясната страна.
При [tex]a=3[/tex]: [tex]9-6-3=0[/tex], тоест уравнението е [tex]0x=0[/tex] — всяко [tex]x[/tex] е решение.
При [tex]a=-3[/tex]: [tex]9+6-3=12[/tex], тоест уравнението е [tex]0x=12[/tex] — изобщо няма решение.
Само единият от двата корена дава безбройно много решения.
Отговор: [tex]a=3[/tex]

Решение:
Докато коефициентът е различен от нула, можем да делим на него и получаваме точно едно решение. Затова уравнението няма точно едно решение именно когато коефициентът се занули:
[tex]a^2-5a+6=0[/tex]
[tex](a-2)(a-3)=0[/tex]
тоест [tex]a=2[/tex] или [tex]a=3[/tex].
Забележете, че задачата не пита кой случай настъпва — и двата стават. Все пак е полезно да погледнем: при [tex]a=2[/tex] получаваме [tex]0x=0[/tex] (безбройно много решения), а при [tex]a=3[/tex] получаваме [tex]0x=1[/tex] (няма решение). Нито едното не е „точно едно“.
Търсеният сбор е [tex]2+3=5[/tex].

Решение:
Параметърът е в знаменател, затова първо [tex]a\neq 0[/tex]. Умножаваме двете страни по [tex]2a[/tex]:
[tex]a(x-a)+2(x-2)=4a[/tex]
[tex]ax-a^2+2x-4=4a[/tex]
Събираме членовете с [tex]x[/tex] отляво, а останалите отдясно:
[tex](a+2)x=a^2+4a+4[/tex]
[tex](a+2)x=(a+2)^2[/tex]
Уравнението има безброй много решения, когато е от вида [tex]0x=0[/tex], тоест когато [tex]a+2=0[/tex], или [tex]a=-2[/tex]. Тази стойност е допустима, защото [tex]-2\neq 0[/tex].
(За всяко друго [tex]a\neq 0[/tex] уравнението има единствено решение [tex]x=a+2[/tex].)
Отговор: [tex]a=-2[/tex].

Решение:
Първо събираме членовете с [tex]x[/tex] отляво, а останалите отдясно:
[tex]ax-3x=a-2[/tex]
[tex](a-3)x=a-2[/tex]
Първи случай: [tex]a\neq 3[/tex]. Делим на [tex]a-3[/tex] и получаваме единственото решение [tex]x=\frac{a-2}{a-3}[/tex].
Втори случай: [tex]a=3[/tex]. Уравнението става [tex]0x=1[/tex], което е невярно за всяко [tex]x[/tex], тоест няма решение.

Решение:
Разлагаме лявата страна:
[tex]a(a^2+a+1)x=186(a^2+a+1)[/tex]
Изразът [tex]a^2+a+1[/tex] никога не е нула за реално [tex]a[/tex] — дискриминантата му е [tex]1-4=-3[/tex], тоест отрицателна — затова можем да разделим двете страни на него:
[tex]ax=186[/tex]
Сега всичко зависи от [tex]a[/tex].
Ако [tex]a\neq 0[/tex], делим на [tex]a[/tex] и получаваме единственото решение [tex]x=\frac{186}{a}[/tex].
Ако [tex]a=0[/tex], уравнението става [tex]0x=186[/tex], което няма решение.

Решение:
Изкушаващо е веднага да съкратим едно [tex]a[/tex] от двете страни, но това е позволено само при [tex]a\neq 0[/tex] — а случаят [tex]a=0[/tex] е точно интересният.
Първи случай: [tex]a\neq 0[/tex]. Тогава [tex]a^2\neq 0[/tex] и делим: [tex]x=\frac{a}{a^2}=\frac{1}{a}[/tex].
Втори случай: [tex]a=0[/tex]. Уравнението става [tex]0x=0[/tex], което е вярно за всяко [tex]x[/tex], тоест всяко реално число е решение.
Забележете разликата с [tex]ax=1[/tex]: тук дясната страна се занулява заедно с коефициента, затова получаваме безбройно много решения, а не никакви.

Решение:
При [tex]a=0[/tex] уравнението е [tex]0x=12[/tex] и изобщо няма решение, затова [tex]a=0[/tex] не се брои.
При [tex]a\neq 0[/tex] решението е [tex]x=\frac{12}{a}[/tex] и то е цяло точно когато [tex]a[/tex] е делител на [tex]12[/tex].
Положителните делители на [tex]12[/tex] са [tex]1, 2, 3, 4, 6, 12[/tex] — шест на брой. Не забравяйте отрицателните: [tex]-1, -2, -3, -4, -6, -12[/tex] също стават, защото делението на отрицателно число пак дава цяло число.
Общо [tex]6+6=12[/tex] стойности.
Отговор: [tex]12[/tex]