Матрици и детерминанти - задачи с решения

Решение:
Размерите на матриците са $n \times m$, където
$n$ е броят на редовете и
$m$ е броят на колоните.

В този случай матрицата на примера е $4 \times 5$, защото има $4$ редове и $5$ колони.

Размер на $A: 4 \times 5$

Решение:
$A_{2,4}$ е елементът, който е във втория ред и в четвъртата колона на $A$

$A_{2,4}=0$.

Решение:
$A_{3,2}$ е елементът, който е в третия ред и втората колона на $A$

$A_{3,2}=-1$.

Решение:
Квадратна матрица с единици по главния диагонал и нули навсякъде другаде.
Пример:
$\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $

Решение:
$\left( \begin{array}{ccc} 3 & -2 & 3 \\ 5 & 1 & 0 \end{array} \right)$

Решение:
$\left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{array} \right) +\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 3 & 2 \end{array} \right) $

$2+1=3$
$-1+0=-1$
$1+2=3$
$3+(-1)=2$

Решение:
$A$ трябва да е $2\times2$ размерна матрица.
$A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) $

$\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) +\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ -4 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 5 & -1 \\ 1 & 3 \end{array} \right) $

$\left( \begin{array}{cc} a+2 & b+3 \\ c-4 & d+1 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} 5 & -1 \\ 1 & 3 \end{array} \right) $

$a+2=5\Longrightarrow a=3$
$b+3=-1\Longrightarrow b=-4$
$c-4=1\Longrightarrow c=5$
$d+1=5\Longrightarrow d=4$
Така, $A=\left( \begin{array}{cc} 3 & -4 \\ 5 & 4 \end{array} \right)$

Решение:
Трябва да умножим числото с всеки елемент на $3\times 1$ матрицата.
$5\times \left( \begin{array}{c} -2 \\ 3 \\ -4 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} 5\times (-2) \\ 5\times 3 \\ 5\times (-4) \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} -10 \\ 15 \\ -20 \end{array} \right)$

Решение:
$X$ трябва да е с размери $2\times 2$.

$X=\left( \begin{array}{cc} a & b c & d \end{array} \right) $
So
$\frac{3}{2}\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) +\left( \begin{array}{cc} -1 & 3 \\ 2 & -2 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} 3 & -4 \\ 5 & 4 \end{array} \right) $

$\left( \begin{array}{cc} \frac{3}{2}a & \frac{3}{2}b \\ \frac{3}{2}c & \frac{3}{2}d \end{array} \right) +\left( \begin{array}{cc} -1 & 3 \\ 2 & -2 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} 3 & -4 \\ 5 & 4 \end{array} \right)$
$\left( \begin{array}{cc} \frac{3}{2}a-1 & \frac{3}{2}b+3 \\ \frac{3}{2}c+2 & \frac{3}{2}d-2% \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} 3 & -4 \\ 5 & 4 \end{array} \right) $

$\frac{3}{2}a-1=3\Longrightarrow a=\frac{8}{3}$

$\frac{3}{2}b+3=-4\Longrightarrow b=-\frac{14}{3}$

$\frac{3}{2}c+2=5\Longrightarrow c=\frac{6}{3}=2$

$\frac{3}{2}d-2=4\Longrightarrow d=\frac{12}{3}=4$

$X=\left( \begin{array}{cc} \frac{8}{3} & -\frac{14}{3} \\ 2 & 4 \end{array} \right)$

Решение:
Първо трябва да намерим размерите на $A$.
$A_{m \times n}=B_{2\times3} \cdot C_{3\times2}$ So
$m \times n=(2\times 3)\cdot (3 \times 2)$
$m\times n=2\times 2$
$A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) $

Трябва да умножим матриците $B\times C$.
$B\times C=\left( \begin{array}{ccc} 1 & -3 & -2 \\ 2 & 0 & 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -2 & -1 \\ 3 & 0 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) $ where
$a=1\times 2+(-3)\times (-2)+(-2)\times 3=2+6-6=2$
$b=1\times 1+(-3)\times (-1)+(-2)\times 0=1+3+0=4$
$c=2\times 2+0\times (-2)+1\times 3=4+0+3=7$
$d=2\times 1+0 \times (-1)+1 \times 0=2+0+0=2$

So

$A=\left( \begin{array}{cc} 2 & 4 \\ 7 & 2 \end{array} \right)$

Решение:
Детерминантата на матрицата $A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) $ е $\det A=ad-bc$

$\det A=2\times 5-(-3)\times 4=10+12=22$

Решение:
Детерминантата на матрицата $A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ е $\det A=ad-bc$
$\det A=3\times 0-(4)\times 0=0-0=0$

Решение:
Използваме формулата за намиране на обратна матрица на $2\times 2$ матрица.

$A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) $ $\Longrightarrow A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right) $, където $\det A\neq 0$

Ако $\det A=0$ казваме, че обратна на матрицата А не съществува.
Но $\det A=ad-bc=2x5-(-3)x4=10+12=22\neq 0$

Така $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right) $ $=\frac{1}{22}\left( \begin{array}{cc} 5 & 3 \\ -4 & 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \frac{5}{22} & \frac{3}{22} \\ \frac{-2}{11} & \frac{1}{11} \end{array} \right)$

$A^{-1}=\left( \begin{array}{cc} \frac{5}{22} & \frac{3}{22} \\ \frac{-2}{11} & \frac{1}{11} \end{array} \right)$

Решение:
Използваме формулата за намиране на обратна матрица на $2\times 2$ матрица.
$A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \Longrightarrow A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right)$, където $\det A\neq 0$
Ако $\det A=0$ казваме, че обратна на А не съществува.
Но $\det A=ad-bc=0\times 0-(\frac{-3}{4}) \times \frac{7}{3}=0+\frac{7}{4}=\frac{7}{4}\neq 0$
Така $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right) =\frac{1}{\frac{7}{4}}\left( \begin{array}{cc} 0 & \frac{3}{4} \\ -\frac{7}{3} & 0 \end{array} \right)=$
$=\frac{4}{7}\left( \begin{array}{cc} 0 & \frac{3}{4} \\ -\frac{7}{3} & 0 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} 0 & \frac{3}{7} \\ -\frac{4}{3} & 0 \end{array} \right) $
$A^{-1}=\left( \begin{array}{cc} 0 & \frac{3}{7} \\ -\frac{4}{3} & 0 \end{array} \right) $

Решение:
Използваме формулата.
$A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \Longrightarrow A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right)$, където $\det A \neq 0$
Ако $\det A=0$ казваме, че обратната на A не съществува.
Ако $\det A=ad-bc=3 \times 8-(-4) \times (-6)=24-24=0$

Така обратната на A не съществува.

Решение:
$A \cdot B=\left( \begin{array}{cc} 7 & -4 \\ 4 & -3 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & -\frac{7}{5} \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} 7x\frac{3}{5}-4x\frac{4}{5} & 7x(-\frac{4}{5})-4x(-\frac{7}{5}) \\ 4x\frac{3}{5}-3x\frac{4}{5} & 4x(-\frac{4}{5})-3x(-\frac{7}{5}) \end{array} \right)$

$A \cdot B=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$ по аналогичен начин:
$B \cdot A=\left( \begin{array}{cc} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & -\frac{7}{5} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 7 & -4 \\ 4 & -3 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$

Т.е. $A \cdot B = B \cdot A$

Решение:
$A \cdot B=\left( \begin{array}{cc} 2 & -3 \\ 1 & -2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} -2 & 1 \\ -3 & 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 5 & -4 \\ 4 & -3 \end{array} \right) \neq \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$

T.e. $A \cdot B \ne B \cdot A$

Решение:
Ако $B=A^{-1}$, тогава $A\cdot B= B \cdot A=I$

$\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \frac{2}{5} & x \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} \frac{2}{5}+\frac{3}{5} & x+\frac{3}{5} \\ -\frac{2}{5}+\frac{2}{5} & -x+\frac{2}{5} \end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$

$\left\{ \begin{array}{c} x+\frac{3}{5}=0 \\ -x+\frac{2}{5}=1 \end{array} \right\} \Longrightarrow x=-\frac{3}{5}$

Решение:
За да няма обратна на $A$ трябва $\det A=0$. Така
$\det A=2(-2)-3x=0$ $\Longrightarrow 3x=-4\Longrightarrow x=-\frac{4}{3}$

Решение:
За да няма $A$ обратна трябва $\det A=0$. Така,
$\det A=-1-(2+x)x=-1-2x-x^{2}=0$
$x^{2}+2x+1=0\Longrightarrow \left( x+1\right)^{2}=0\Longrightarrow x=-1$