Полярни координати и уравнения в полярна координатна система - задачи с решения

Решение:
Ще използваме следните преобразувания

$x=r\cos\theta$
$y=r\sin \theta $
където $r=0$ $\theta =\frac{\pi}{2}$

$x=0\cdot \cos(\frac{\pi}{2})=0$

$y=0\cdot \sin (\frac{\pi}{2})=0$

Така $(0,\frac{\pi}{2})$ е еквивалентно на $(0,0)$ в декартови координати.

Решение:
Отговор: $(-\sqrt{2},\frac{\pi}{4})\equiv (-1,-1)$

Ще използваме следните преобразувания
$x=r\cos\theta$
$y=r\sin\theta $, където $r=-\sqrt{2}\qquad \theta =\pi /4$

$x=-\sqrt{2}\cdot \cos(\pi /4)=-\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=-1$
$y=-\sqrt{2}\cdot \sin (\pi /4)=-\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=-1$

В Декартова координатна система точката съвпада с $(-1,-1)$.

Решение:
$y=10\Longrightarrow y=r\sin\theta $ $=10\Longrightarrow r=\frac{10}{\sin\theta }=10\csc \theta $

Решение:
Отговор: $r^{2}\left( \cos 2\theta \right) =4$

Използваме преобразованието
$x=rcos\theta \qquad y=r\sin\theta$

$x^{2}-y^{2}=4\Longrightarrow \left( rcos\theta \right)^{2}-\left(r\sin\theta \right) ^{2}=4\Longrightarrow r^{2}\left( \cos ^{2}\theta -\sin^{2}\theta \right) =4$

$r^{2}\left( \cos 2\theta \right) =4$
Това е хипербола с графика:

Решение:
Ще използваме следните преобразувания
$x=r\cos\theta \qquad y=r\sin\theta $

$y^{2}=4x$ $\Longrightarrow \left( r\sin\theta \right) ^{2}=4r\cos\theta \Longrightarrow r^{2}\sin^{2}\theta =4r\cos\theta \Longrightarrow r=4\frac{\cos \theta }{sin^{2}\theta }$

Уравнението представлява парабола.

Решение:
$\theta =2\frac{\pi }{3};r\leq -2$

Това е графика на лъч, който сключва ъгъл $2\frac{\pi}{3}$ с положителното направление на оста x, но е насочен в обратна посока, започвайки от $-2.$

Решение:
Отговор: $0\leq \theta \leq \pi \qquad r=-1$

Това е полукръг, който започва от $\pi$ и се простира до $2\pi $.
Интервалът започва от $0$, но $r$ е отрицателен.

Решение:
Отговор: $-\frac{\pi }{4}\leq \theta \leq \frac{\pi }{4}\qquad -1\leq r\leq 1$

Графиката представлява сбор от два клина, врязани в кръг с радиус $-1$ и $1$ и всички точки в синята област, която се намира между прави $\pm \frac{\pi }{4}$.

Решение:
Отговор: $y=4$

$r\sin\theta =4\Longrightarrow y=4$

Тъй като използваме уравнението за преобразуване $y=r\sin \theta $.

Уравнението представлява права, която минава през точка $(0,4)$.

Решение:
Отговор: $y=x+4$

Правим следните преобразувания
$x=r\cos\theta \qquad y=r\sin\theta$

Така $r\sin\theta =r\cos\theta +4\Longrightarrow y=x+4$

Уравнението представлява права с наклон $1$ и пресечена точка с оста $y$ в $(0,4)$

Решение:
Приравняваме двете уравнение
$r=\sin \theta $ и $r=\sin 2\theta $

тогава $\sin \theta =\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta \Longrightarrow 2\cos \theta =1\Longrightarrow \cos \theta =\frac{1}{2}$

Така $\theta =\arccos \frac{1}{2}= \frac{1}{3}\pi ,\frac{5}{3}\pi $

когато $\theta =\frac{1}{3}\pi \Longrightarrow $ $r=\sin \left( \frac{1}{3}\pi \right) =\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $r=\sin \left( \frac{2}{3}\pi \right) =\frac{\sqrt{3}}{2}$

и когато $\theta =\frac{5}{3}\pi \Longrightarrow r=\sin \left( \frac{5}{3}\pi \right) =-\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $r=\sin \left( \frac{10}{3}\pi \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Точките на пресичане са $\left( \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{3}\pi \right) ,\left( -\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{5}{3}\pi \right) $

Решение:
Отговор: хипербола, елипса.

$r=\frac{2}{1-2\sin \theta }$

Ако сравним всеки член от даденото уравнение с общия вид на уравнението в полярни координати
$r=\frac{ep}{1-e\sin\theta }$ виждаме, че $e=2$.

Следователно коничното сечение представя хипербола.

---

$r=\frac{3}{4+\cos \theta }=\frac{3/4}{1+1/4\cos \theta }$
сравнение с общия вид на уравнението $r=\frac{ep}{1+e\sin\theta }$ тогава $e=\frac{1}{4}$

Коничното сечение е елипса.

Решение:
$r=\frac{4}{3-2\sin \theta }=\frac{4/3}{1-2/3\sin \theta }$
Виждаме, че $e=\frac{2}{3}$ тогава
Уравнението $r=\frac{4}{3-2\sin \theta }$ представлява елипса.

Решение:
Коничното сечение представлява парабола, чиято ос е хоризонтална(успоредна на оста x),
тъй като $r$ не е дефиниран, когато $\theta=0$

Върхът на параболата е $\theta =\pi $
Връх: $(\frac{1}{2},\pi )$

Пресичането с оста $y$ е: $(1,\frac{\pi }{2});$ $(1,\frac{3\pi }{2})$

Решение:
Виждаме, че $e=2$.
Уравенеието $r=\frac{2}{1+2\cos \theta }$ представлява хипербола,
с ос успоредна на оста x. Върховете, които са ръбовете на напречната ос на хиперболата са $\theta =0$ и $\theta =\pi $

Връх: $(\frac{2}{3},0);\ \ (-2,\pi )$

Пресичане на оста y: $(2,\frac{\pi }{2});\ \ (2,\frac{3\pi }{2})$