Приложение на интегралите - задачи с решения

Решение:
Трябва да намерим пресечните точки на графиките.

$y_{1}=y_{2}\Longrightarrow x^{2}+2x+1=2x+5\Longrightarrow x^{2}-4=0$ тогава $x=\pm 2$

Площта на този регион може да бъде изчислена по този начин:
Площ $=\overset{2}{\underset{-2}{\int }}\left[ 2x+5-x^{2}-2x-1\right] dx$

Площ $=\overset{2}{\underset{-2}{\int }}\left[ 4-x^{2}\right] dx=\left[ 4x-\frac{x^{3}}{3}\right] _{-2}^{2}=\left( 8-\frac{8}{3}+8-\frac{8}{3}\right) =16-\frac{16}{3}= \frac{32}{3}$

Решение:
Трябва да намерим пресечните точки на графиките.

$y_{1}=y_{2}\Longrightarrow x^{2}-4x+3=-x^{2}+2x+3\Longrightarrow 2x^{2}-6x=0$, тогава $x=0$ и $x=3$

Така площа$=\overset{3}{\underset{0}{\int }}\left[ -x^{2}+2x+3-x^{2}+4x-3\right] dx=\overset{3}{\underset{0}{\int }}\left[ -2x^{2}+6x\right] dx$

$S=\left[ -\frac{2}{3}x^{3}+3x^{2}\right]_{0}^{3}=-18+27=9$

Решение:
Трябва да намерим пресечните точки на графиките с оста $x$.

$y_{1}=3(x^{3}-x)=0\Longrightarrow x=-1,0,1$

Така $S=\underset{}{\overset{0}{\underset{-1}{\int }}3(x^{3}-x)dx-}\underset{}{\overset{1}{\underset{0}{\int }}3(x^{3}-x)dx}$

$S=\left[ 3\left( \frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right) \right]_{-1}^{0}-\left[ 3\left( \frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right) \right]_{0}^{1}=3\left[ -\left( \frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right) -\left( \frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right) \right] $

$S=3\left( \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right) =\frac{3}{2}$

Решение:
Трябва да намерим пресечните точки на графиките.

$f(x)=g(x)\Longrightarrow -x^{2}+\frac{9}{2}x+1=\frac{1}{2}x+1\Longrightarrow -x^{2}+4x=0$

then $x=0$ and $x=4$.

Така $S=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left[ \left( -x^{2}+\frac{9}{2}x+1\right) -\left( \frac{1}{2}x+1\right) \right] dx$

$S=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left[ -x^{2}+4x\right] dx=\left[ -\frac{x^{3}}{3}+2x^{2}\right]_{0}^{4} = -\frac{64}{3}+32= \frac{32}{3}$

Решение:
Трябва да намерим пресечните точки на правите линии и пресечната точка между тях и оста $x$.
Така $y_{1}=y_{2}\Longrightarrow x=2-x\Longrightarrow x=1$ тогава при $x=0$ и $x=2$ имаме сечение с оста $x$

$S=\overset{1}{\underset{0}{\int }}xdx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}(2-x)dx=\left[ \frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}+\left[ 2x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2}$

$S=\frac{1}{2}+4-2-2+\frac{1}{2}= 1$

Решение:
Трябва да намерим точките на пресичане.

$f(x)=g(x)\Longrightarrow \sqrt{x}+3=\frac{1}{2}x+3\Longrightarrow \sqrt{x}=\frac{1}{2}x$ така $x=0$ или $x=4$

Площа $=\overset{4}{\underset{0}{\int }}\left( f(x)-g(x)\right) dx=\overset{4}{\underset{0}{\int }}\left( \sqrt{x}+3-\frac{1}{2}x-3\right) dx=\overset{4}{\underset{0}{\int }}\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2}x\right) dx$

$S=\left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{4}x^{2}\right]_{0}^{4}=\left[ \frac{16}{3}-4\right] = \frac{4}{3}$

Решение:
Трябва да намерим пресечните точки на графиките

$f(x)=g(x)\Longrightarrow \sqrt[3]{x-1}=x-1\Longrightarrow\\ x=0, x=1, x=2$

Площа, заключена между графиките е $A=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left( x-1-\sqrt[3]{x-1}\right) dx+\overset{2}{\underset{1}{\int }}\left( \sqrt[3]{x-1}-x+1\right) dx$

$S=\left[ \frac{1}{2}x^{2}-x-\frac{3}{4}(x-1)^{\frac{4}{3}}\right]_{0}^{1}+\left[\frac{3}{4}(x-1)^{\frac{4}{3}}-\frac{1}{2}x^{2}+x\right] _{1}^{2}$

$S=\frac{1}{2}-1+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}-2+2+\frac{1}{2}-1= \frac{1}{2}$

Решение:
Първо намираме точките на пресичане на графиките.

$f(x)=g(x)\Longrightarrow x^{2}-4x+3=3+4x-x^{2}\Longrightarrow 2x^{2}-8x=0\Longrightarrow 2x(x-4)=0$

Така $x=0\qquad x=4$

Площа $S=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left[ \left(3+4x-x^{2}\right) -\left( x^{2}-4x+3\right) \right] dxu.$

Площа $S=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left[ 4x-x^{2}+4x-x^{2}\right] dx=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left[ 8x-2x^{2}\right] dx=\left[ 4x^{2}-\frac{2}{3}x^{3}\right] _{0}^{4}=64-\frac{128}{3}= \frac{64}{3}$

$S= \frac{64}{3}$

Решение:
Трябва да намерим точките на пресичане на графиките.
$f(x)=g(x)\Longrightarrow x^{4}-2x^{2}=2x^{2}\Longrightarrow x^{4}-4x^{2}=0\Longrightarrow x^{2}(x^{2}-4)=0$

Така $x=-2\qquad x=0\qquad x=2$ са точките на пресичане.

Имайки предвид симетриите на графиките

$S=2\overset{2}{\underset{0}{\int }}\left[ \left( 2x^{2}\right) -\left(x^{4}-2x^{2}\right) \right] dx=2\left[ \frac{4}{3}x^{3}-\frac{1}{5}x^{5}\right] _{0}^{2}=2\left( \frac{32}{3}-\frac{32}{5}\right) =\frac{128}{15}$

$S= \frac{128}{15}$

Решение:
Първо трябва да намерим пресечените точки на графиките на функциите.

$f(x)=g(x)\Longrightarrow x^{4}-4x^{2}=x^{2}-4\Longrightarrow x^{4}-5x^{2}+4=0$

Полагаме $u=x^{2}$ и получаваме $u^{2}-5u+4=0\Longrightarrow (u-4)(u-1)=0$

$u=4\qquad u=1$ и тъй като $u=x^{2}\Longrightarrow x=\pm 1\qquad x=\pm 2$

са пресечените точки и като вземем предвид симетрията на графиките

$S=2\left[ \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[ \left( x^{4}-4x^{2}\right) -\left( x^{2}-4\right) \right] dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[ \left( x^{2}-4\right) -\left( x^{4}-4x^{2}\right) \right] dx\right] $

$S=2\left[ \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left( x^{4}-5x^{2}+4\right) dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left( -x^{4}+5x^{2}-4\right) dx\right]$

$S=2\left( \left[ \frac{1}{5}x^{5}-\frac{5}{3}x^{3}+4x\right] _{0}^{1}+\left[-\frac{1}{5}x^{5}+\frac{5}{3}x^{3}-4x\right] _{1}^{2}\right)$

$S=2\left( \frac{1}{5}-\frac{5}{3}+4-\frac{1}{5}32+\frac{5}{3}8-8+\frac{1}{5}-\frac{5}{3}+4\right)=8$

Решение:
Фунцкията пресича оста $x$ при $x=\pm 2$ и радиусът на диска е

$R(x)=f(x)$ so $V=\pi \overset{2}{\underset{-2}{\int }}$ $R(x)^{2}dx=\pi \overset{2}{\underset{-2}{\int }}$ $\left( 4-x^{2}\right) ^{2}dx=\pi \overset {2}{\underset{-2}{\int }}$ $\left( 16-8x^{2}+x^{4}\right) dx$

$V=\pi \left[ 16x-\frac{8}{3}x^{3}+\frac{1}{5}x^{5}\right]_{-2}^{2}=\pi \left[ 32-\frac{64}{3}+\frac{32}{5}+32-\frac{64}{3}+\frac{32}{5}\right] =\frac{512}{15}\pi $

$V=\frac{512}{15}\pi $

Решение:
Тъй като $R(x)=\sqrt{x}$, обемът $V=\pi \underset{0}{\overset{3}{\int }}R^{2}(x)dx$

$V=\pi \underset{0}{\overset{3}{\int }}xdx=\pi \left[ \frac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{3}=\frac{9}{2}\pi $

Решение:
$R(x)=f(x)=\sqrt{\sin x}$ така обемът е
$V=\pi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left( \sqrt{\sin x}\right)^{2}dx$

$V=\pi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin xdx=-\pi \left[ \cos x\right] _{0}^{\pi }=-\pi \left[ \cos \pi -\cos 0\right] =-\pi \left(-1-1\right) =2\pi $

$V=2\pi $