Тригонометрия - задачи с решения

Решение:
$\sin \theta =\frac{\text{срещулежаща страна}}{\text{хипотенуза}}=\frac{4}{5}$

$\cos \theta =\frac{\text{прилежаща страна}}{\text{хипотенуза}}=\frac{3}{5}$

$\tg \theta =\frac{\text{срещулежаща страна}}{\text{прилежаща страна}}=\frac{4}{3}$

$\cotg \theta =\frac{\text{прилежаща страна}}{\text{срещулежаща страна}}=\frac{3}{4}$

Решение:
$\sin \theta =\frac{\text{срещулежаща страна}}{\text{хипотенуза}}=\frac{5}{13}$

$\cos \theta =\frac{\text{прилежаща страна}}{\text{хипотенуза}}=\frac{12}{13}$

$\tg \theta =\frac{\text{срещулежаща страна}}{\text{прилежаща страна}}=\frac{5}{12}$

$\cotg \theta =\frac{\text{прилежаща страна}}{\text{срещулежаща страна}}=\frac{12}{5}$

Решение:
От Питагорова теорема имаме, че $c^{2}=a^{2}+b^{2}$
Тогава $b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}$
Така $b=\sqrt{9-5}=\sqrt{4}=2$

$\sin \theta =\frac{b}{c}=\frac{2}{3}$

Решение:
Тъй като $\cos 30^{\circ }=\frac{a}{c}\Longrightarrow c=\frac{a}{\cos 30^{\circ }}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

От Питагорова теорема имаме $c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Така $b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{\left( \frac{4\sqrt{3}}{3}\right) ^{2}-2^{2}}=\sqrt{\frac{16}{3}-4}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Решение:
Тъй като $\sin 30^{\circ }=\frac{b}{c}\Longrightarrow c=\frac{b}{\sin 30^{\circ}}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4$

От Питагорова теорема имаме $c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Така $a=\sqrt{c^{2}-b^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

Решение:
Трябва да намерим срещуположната страна.
От Питагорова теорема имаме:
$\left( \text{срещуположна страна}\right)^{2}+\left(\text{прилежаща страна}\right)^{2}=\text{хипотенуза}^{2}\Longrightarrow \left(\text{срещуположната страна}\right) =\sqrt{\text{хипотенуза}^{2}-\left(\text{прилежаща страна}\right)^{2}}$

$\left(\text{срещуположна страна}\right) =\sqrt{6^{2}-\left( 3\right) ^{2}}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}$

и така
$\sin \theta =\frac{\text{срещуположна страна}}{\text{хипотенуза}}=\frac{\sqrt{27}}{6}$

Решение:
Нека $h$ е разстоянието между хвърчилото и земята. На фигурата виждаме, че $\frac{h}{90}=\sin 22^{0}$ и така $h=90\sin 22^{0}\approx 33,71$ дм.

Решение:
$\text{tg }\theta =\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{2}{3}$ и $\text{cotg }\theta =\frac{\cos \theta}{\sin \theta}=\frac{3}{2}$

Решение:
Нека $x$, $y$, и $z$ са неизвестните размери.
По дефиниция на тангенсовата функция имаме

$\text{tg }25^{\circ}=\frac{x}{4}$, $x=4\text{tg }25^{\circ}\approx 1,87$ дм

Да изчислим $y$
$\cos 25^{0}=\frac{4}{y}$, следователно $y=\frac{4}{\cos 25^{0}}\approx 4,41$ дм

Знаем, че $z=\frac{3}{2}+x$ и $x\approx 1,87$ дм. Така $z=1,5+1,87\approx 3,37$ дм.

Решение:
Тъй като $\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{65}}\Longrightarrow \text{срещулежаща страна}=1$

$\text{хипотенуза}=\sqrt{65}$ и
$\text{tg }\theta =\frac{1}{8}\Longrightarrow \text{прилежаща страна}=8$

Тогава $\cos \theta =\frac{\text{прилежаща страна}}{\text{хипотенуза}}=\frac{8}{\sqrt{65}}=\frac{8\sqrt{65}}{65}$

и $\text{cotg }\theta =\frac{\text{прилежаща страна}}{\text{срещулежаща страна}}=8$

Решение:
Използваме следната тригонометрична формула

$\sin \left( \alpha -\beta \right) =\sin \alpha \cos \beta -\sin \beta \cos \alpha $

Така $\sin 15^{\circ }=\sin \left( 90^{\circ }-75^{\circ }\right) =\sin 90^{\circ}\cos 75^{\circ }-\sin 75^{\circ}\cos 90^{\circ }$

Тъй като $\sin 90^{\circ }=1$ и $\cos 90^{\circ }=0$ получаваме

$\sin 15^{\circ }=\cos 75^{\circ }=\frac{1}{4}\left( \sqrt{6}-\sqrt{2}\right)$

Решение:
Имайки в предвид формулите
$\sin 2x=2\sin x\cos x$, $\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x$

и $\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$ получаваме

$\frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=\frac{2\sin x\cos x}{1+\cos^{2}x-\sin^{2}x}=\frac{2\sin x\cos x}{\cos^{2}x+\sin^{2}x+\cos^{2}x-\sin^{2}x}=\frac{2\sin x\cos x}{2\cos^{2}x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\text{tg} x$

Решение:
$1-\sin ^{4}\alpha =\left[ 1-\sin ^{2}\alpha \right] \left[ 1+\sin^{2}\alpha \right] $
и тъй като $1-\sin ^{2}\alpha =\cos ^{2}\alpha$

Получаваме $\frac{1-\sin^{4}\alpha }{\cos^{2}\alpha }=\frac{\left[ 1-\sin^{2}\alpha \right] \left[ 1+\sin ^{2}\alpha \right] }{\cos ^{2}\alpha }=\frac{\cos^{2}\alpha \left[ 1+\sin ^{2}\alpha \right] }{\cos ^{2}\alpha }=1+\sin ^{2}\alpha $

Тъй като $\sin ^{2}\alpha =1-\cos ^{2}\alpha$,
получаваме $\frac{1-\sin^{4}\alpha }{\cos^{2}\alpha }=1+1-\cos ^{2}\alpha$

Така $\frac{1-\sin ^{4}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }=2-\cos ^{2}\alpha $

Решение:
Ще използваме, че $\cos 2\alpha =\cos^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha $ и $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

$\frac{2\sin \alpha }{\text{tg} 2\alpha }=\frac{2\sin \alpha \cos 2\alpha }{\sin2\alpha }=\frac{2\sin \alpha \left( \cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha \right)}{2\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{\left( \cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha \right) }{\cos \alpha }=\cos \alpha -\frac{\sin ^{2}\alpha }{\cos \alpha }$

Решение:
Виждаме, че $\sin^{2}\alpha +\cos^{2}\alpha =1\Longrightarrow \cos^{2}\alpha =1-\sin ^{2}\alpha $ Така

$\cos^{2}\alpha =\left( 1-\sin \alpha \right) \left( 1+\sin \alpha \right) \Longrightarrow \frac{\cos \alpha }{\left( 1+\sin \alpha \right) }=\frac{\left( 1-\sin \alpha \right) }{\cos \alpha }$

Решение:
$\sin^{2}\alpha \cos^{2}\alpha +\cos^{4}\alpha =\cos^{2}\alpha \left( \sin^{2}\alpha +\cos^{2}\alpha \right) $

Тъй като $\sin^{2}\alpha +\cos^{2}\alpha =1$

Получаваме $\sin ^{2}\alpha \cos^{2}\alpha +\cos ^{4}\alpha =\cos ^{2}\alpha $

Решение:
Тъй като $\text{tg }\alpha =\frac{h}{x}$ и $\text{tg }\beta =\frac{h}{c-x}$ изразяваме $x$ спрямо $h$
$x=\frac{h}{\text{tg }\alpha }$ и заместваме във второто уравнение $c-x=\frac{h}{\text{tg }\beta }$

Така $c-\frac{h}{\text{tg }\alpha }=\frac{h}{\text{tg }\beta }\Longrightarrow c=h\left( \frac{1}{\text{tg }\beta }+\frac{h}{\text{tg }\alpha }\right) =h\left( \frac{\text{tg }\alpha +\text{tg }\beta }{\text{tg }\alpha \text{tg }\beta }\right) $

Следователно $h=c\left( \frac{\text{tg }\alpha \text{tg }\beta }{\text{tg }\alpha +\text{tg }\beta }\right)$

Решение:
Нека $h$ е височината на планината. На фигурата са показани два правоъгълни триъгълника с обща страна $h$.

Получаваме две уравнения с 2 неизвестни $h$ и $z$:
$\frac{h}{z+0,5}=\text{tg }37^{\circ}$ и $\frac{h}{z}\text{tg }41^{\circ}$

Изразяваме $h$:

$h=\left( z+0,5\right) \text{tg }37^{\circ}$ и $h=z\cdot\text{tg }41^{\circ}$
Последните два резултата са равни и достигаме до уравнение, където можем определете разстоянието $z$:

$\left( z+0,5\right) \text{tg }37^{\circ}=z\cdot\text{tg }41^{\circ}$

$z=\frac{-0,5\text{tg }37^{\circ}}{\text{tg }37^{\circ}-\text{tg }41^{\circ}}$

Сега можем да изчислим $h$, знаейки, че $h=z\cdot\text{tg }41^{\circ}$

$h=\frac{-0,5\text{tg }37^{\circ}\text{tg }41^{\circ}}{\text{tg }37^{\circ}-\text{tg }41^{\circ}}\approx 2,83$ km