Меню
❌
Начало
Форум
Тестове/Изпити
Алгебра
Геометрия
Задачи
Упражнения
Висша математика
Състезания
Програми
Игри
ГЛАВНО МЕНЮ
1 клас
Събиране и изваждане до 10
Сравнение на числа до 10
Събиране и изваждане до 20
Събиране и изваждане до 10/20
2 клас
Събиране и изваждане до 100
Умножение по 2, 3, 4, 5
Таблицата за уможение
Деление
Обиколка
3 клас
Събиране и изваждане до 1000
Събиране, умножение, деление
Обиколка
4 клас
Събиране и изваждане
Събиране, умножение, деление
Лице на правоъгълник
5 клас
Делимост на 2, 3, 4, 5, 9
Уравнения
Проценти
Дроби
Еквивалентни дроби
Най-малко общо кратно
Събиране и изваждане на дроби
Умножение и деление на дроби
Десйтвия с дроби
Смесени дроби
Десетични дроби
Изрази
6 клас
Отрицателни числа
Опростяване на многочлени
Степенуване
Действия с многочлени
Питагорова теорема
Координатна система
7 клас
Ъгли
Tриъгълник
Текстови задачи
Разлагане на множители
Неравенства
Модулни уравнения
Линейни уравнения с параметър
8 клас
Корени
Квадратни уравнения
Формули на Виет
Модулни неравенства
9 клас
Квадратни неравенства
Системи уравнения
Рационални неравенства
Модулни неравенства
Степенуване
Прогресии
Аритметична прогресия
Геометрична прогресия
Прогресии
Числови редици
Логаритми
Логаритмични изрази
Логаритмични уравнения
Логаритмични уравнения
Логаритмични неравенства
Логаритмични неравенства
Реципрочни уравнения
Тригонометрия
Тригонометрия
Тъждества
Тригонометрия
Тригонометрични уравнения
Екстремални задачи
Класификация на числата
Геометрия
Теорема на Талес
Синусова теорема
Косинусова теорема
Вероятности
Показателни уравнения
Ирационални уравнения
Показателни неравенства
Ирационални неравенства
Функции
Производни
НГС и НМС на функция
Монотонност на функции
Граници
Граници на функции
Полиноми
Наклон на права
Матрици
Комплексни числа
Обратни тригонометрични функции
Аналитична геометрия
Аналитична геометрия
Уравнение на окръжност
Конични сечения
Парабола
Елипса
Полярни координати
Интеграли
Интеграли
Интегриране по части
Начало
Задачи
Тригонометрични тъждества
Тригонометрични тъждества - задачи с решения
Автор:
Prof. Hernando Guzman Jaimes (University of Zulia - Maracaibo, Venezuela)
Задача 1
Кое от следните тригонометрични тъждества е вярно?
$2\cos x=\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{1+\cos x}{\sin x}$
$\frac{2}{\sin x}=\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{1+\cos x}{\sin x}$
$2\sin x=\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{1+\cos x}{\sin x}$
$\text{tg }x=\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{1+\cos x}{\sin x}$
Решение:
Отговор: $\frac{2}{\sin x}=\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{1+\cos x}{\sin x}$
$\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{1+\cos x}{\sin x}=\frac{\sin ^{2}x+\left( 1+\cos x\right) ^{2}}{\sin x\left( 1+\cos x\right) }=\frac{\sin ^{2}x+1+2\cos x+\cos ^{2}x}{\sin x\left( 1+\cos x\right) }=\frac{1+2\cos x+\left( \sin ^{2}x+\cos ^{2}x\right) }{\sin x\left( 1+\cos x\right) }$
Така $=\frac{2+2\cos x}{\sin x\left( 1+\cos x\right) }=\frac{2\left( 1+\cos x\right) }{\sin x\left( 1+\cos x\right) }=\frac{2}{\sin x}$
Тогава $\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{1+\cos x}{\sin x}=\frac{2}{\sin x}$
Задача 2
Кое от следните тригонометрични тъждества е вярно?
$\frac{1+\sin x}{\cos x}=\frac{\cos x}{1+\sin x}$
$\frac{1-\sin x}{\cos x}=\frac{\cos x}{1-\sin x}$
$\frac{1-\sin x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1+\sin x}$
$\frac{1-\sin x}{\cos x}=\frac{\cos x}{1+\sin x}$
Решение:
Отговор: $\frac{1-\sin x}{\cos x}=\frac{\cos x}{1+\sin x}$
$\frac{\cos x}{1+\sin x}=\frac{\cos ^{2}x}{\cos x\left( 1+\sin x\right) }=\frac{1-\sin ^{2}x}{\cos x\left( 1+\sin x\right) }=\frac{\left( 1-\sin x\right) \left( 1+\sin x\right) }{\cos x\left( 1+\sin x\right) }=\frac{1-\sin x}{\cos x}$
Доказахме, че $\frac{1-\sin x}{\cos x}=\frac{\cos x}{1+\sin x}$
Задача 3
Кое от следните тригонометрични тъждества е вярно?
$\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}=\frac{\text{tg }x-1}{\text{tg }x+1}$
$\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}=\frac{\text{tg }x-1}{\text{tg }x+1}$
$\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}=\frac{\text{tg }x+1}{\text{tg }x}$
$\frac{\sin x-\cos x}{\sin x-\cos x}=\frac{\text{tg }x-1}{\text{tg }x-1}$
Решение:
Отговор: $\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}=\frac{\text{tg} x-1}{\text{tg} x+1}$
$\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}=\frac{\frac{1}{\cos x}-\frac{1}{\sin x}}{\frac{1}{\cos x}+\frac{1}{\sin x}}=\frac{\frac{\sin x-\cos x}{\sin x\cos x}}{\frac{\sin x+\cos x}{\sin x\cos x}}=\frac{\frac{\sin x-\cos x}{\cos x}}{\frac{\sin x+\cos x}{\cos x}}=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-1}{\frac{\sin x}{\cos x}+1}=\frac{\text{tg} x-1}{\text{tg} x+1}$
Доказахме, че $\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}=\frac{\text{tg} x-1}{\text{tg}x+1}$
Задача 4
Кое от следните тригонометрични тъждества е вярно?
$\frac{\text{tg} x-\sin x}{\sin ^{2}x}=\frac{1}{\cos x+\cos^{2}x}$
$\frac{\text{tg} x-\sin x}{\sin ^{3}x}=\frac{1}{\cos x+\sin x}$
$\frac{\text{tg} x-\sin x}{\sin ^{3}x}=\frac{1}{\cos x+\cos ^{2}x}$
$\frac{\text{tg} x+\sin x}{\sin ^{3}x}=\frac{1}{\sin x+\cos ^{2}x}$
Решение:
Отговор: $\frac{\text{tg} x-\sin x}{\sin^{3}x}=\frac{1}{\cos x+\cos^{2}x}$
$\frac{\text{tg} x-\sin x}{\sin^{3}x}=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x}{\sin ^{3}x}=\frac{\sin x-\sin x\cos x}{\cos x\sin ^{3}x}=\frac{\sin x\left( 1-\cos x\right) }{\cos x\sin ^{3}x}$
$= \frac{1-\cos x}{\cos x\sin^{2}x}=\frac{1-\cos x}{\cos x\left( 1-\cos ^{2}x\right) }=\frac{1}{\cos x\left( 1+\cos x\right) }=\frac{1}{\cos x+\cos ^{2}x}$
Доказахме, че $\frac{\text{tg} x-\sin x}{\sin^{3}x}=\frac{1}{\cos x+\cos^{2}x}$
Задача 5
Кое от следните тригонометрични тъждества е вярно?
$\frac{\cos ^{3}x-\sin ^{3}x}{\cos x-\sin x}=1+\sin x\cos x$
$\frac{\cos ^{3}x-\sin ^{3}x}{\cos x-\sin x}=1-\sin x\cos x$
$\frac{\cos ^{3}x+\sin ^{3}x}{\cos x+\sin x}=1+\sin x\cos x$
$\frac{\cos ^{3}x+\sin ^{3}x}{\cos x-\sin x}=1-\sin x\cos x$
Решение:
Отговор: $\frac{\cos ^{3}x-\sin ^{3}x}{\cos x-\sin x}=1+\sin x\cos x$
$\frac{\cos ^{3}x-\sin^{3}x}{\cos x-\sin x} =\frac{\left( \cos x-\sin x\right) \left( \cos^{2}x+\cos x\sin x+\sin ^{2}x\right) }{\cos x-\sin x}=\left( \cos ^{2}x+\sin ^{2}x\right) +\cos x\sin x=$
$=1+\cos x\sin x$
Доказахме, че $\frac{\cos^{3}x-\sin^{3}x}{\cos x-\sin x}=1+\sin x\cos x$
Задача 6
Кое от следните тригонометрични тъждества е вярно?
$\frac{\sin \theta +\cos \theta +1}{\sin \theta +\cos \theta -1}=\frac{\sin \theta -1}{\cos \theta}$
$\frac{\sin \theta -\cos \theta -1}{\sin \theta +\cos \theta +1}=\frac{\sin \theta +1}{\cos \theta}$
$\frac{\sin \theta +\cos \theta +1}{\sin \theta +\cos \theta -1}=\frac{\sin \theta +1}{\cos \theta}$
$\frac{\sin \theta -\cos \theta +1}{\sin \theta +\cos \theta -1}=\frac{\sin \theta -1}{\sin \theta}$
Решение:
Отговор: $\frac{\sin \theta -\cos \theta +1}{\sin \theta +\cos \theta -1}=\frac{\sin \theta +1}{\cos \theta }$
$\frac{\sin \theta +1\ }{\cos \theta }=\frac{\left( \sin \theta +1\right) \left( \sin \theta +\cos \theta -1\right) }{\cos \theta \left( \sin \theta +\cos \theta -1\right) }=\frac{\sin ^{2}\theta +\sin \theta \cos \theta +\cos \theta -1}{\cos \theta \left( \sin \theta +\cos \theta -1\right) }= \frac{\left( \sin ^{2}\theta -1\right) +\sin \theta \cos \theta +\cos \theta }{\cos \theta \left( \sin \theta +\cos \theta -1\right) }$
$=\frac{-\cos^{2}\theta +\sin \theta \cos \theta +\cos \theta }{\cos \theta \left( \sin \theta +\cos \theta -1\right) }=\frac{\cos \theta \left( \sin \theta -\cos \theta +1\right) }{\cos \theta \left( \sin \theta +\cos \theta -1\right) }=\frac{\sin \theta -\cos \theta +1}{\sin \theta +\cos \theta -1}$
Доказахме, че $\frac{\sin \theta -\cos \theta +1}{\sin \theta +\cos \theta -1}=\frac{\sin \theta +1\ }{\cos \theta }$
Задача 7
Кое от следните тригонометрични тъждества е вярно?
$\text{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\text{tg}\alpha-\text{tg}\beta}{1-\text{tg}\alpha\text{tg}\beta}$
$\text{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\text{tg}\alpha+\text{tg}\beta}{1+\text{tg}\alpha\text{tg}\beta}$
$\text{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\text{tg}\alpha+\text{tg}\beta}{1-\text{tg}\alpha\text{tg}\beta}$
$\text{tg}(\alpha+\beta)=\frac{\text{tg}\alpha-\text{tg}\beta}{1+\text{tg}\alpha\text{tg}\beta}$
Решение:
Отговор: $\text{tg} \left( \alpha +\beta \right) =\frac{\text{tg} \alpha +\text{tg} \beta }{1-\text{tg} \alpha \text{tg} \beta }$
$\text{tg} \left( \alpha +\beta \right) =\frac{\sin \left( \alpha +\beta \right) }{\cos \left( \alpha +\beta \right) }=\frac{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }$
Разделяме числителя и знаменателя на $\cos \alpha \cos \beta $
So $\frac{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }=\frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}{\frac{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}=\frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }+\frac{\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}{\frac{\cos \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }-\frac{\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}=\frac{\text{tg} \alpha +\text{tg} \beta }{1-\text{tg} \alpha \text{tg} \beta }$
We proved that $\text{tg} \left( \alpha +\beta \right) =\frac{\text{tg} \alpha +\text{tg} \beta }{1-\text{tg} \alpha \text{tg} \beta }$
Задача 8
Намерете стойността на синус, косинус, тангенс от $15^{\circ }$.
Подсказка: $15^{\circ }=45^{\circ }-30^{\circ }$
A) $\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) \quad \cos 15^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) \quad \text{tg} 15^{\circ }=2-\sqrt{3}$
B) $\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) \quad \cos 15^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) \quad \text{tg} 15^{\circ }=2+\sqrt{3}$
C) $\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) \quad \cos 15^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) \quad \text{tg} 15^{\circ }=2-\sqrt{3}$
D) $\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) \quad \cos 15^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) \quad \text{tg} 15^{\circ }=2+\sqrt{3}$
A
B
C
D
Решение:
Отговор: $\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) \quad \cos 15^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) \quad \text{tg} 15^{\circ }=2-\sqrt{3}$
$\sin 15^{\circ }=\sin \left( 45^{\circ }-30^{\circ }\right) =\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }-\cos 45^{\circ }\sin 30^{\circ }=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) $
$\cos 15^{\circ }=\cos \left( 45^{\circ }-30^{\circ }\right) =\cos 45^{\circ }\cos 30^{\circ }+\sin 45^{\circ }\sin 30^{\circ }=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) $
$\text{tg} 15^{\circ }=\text{tg} \left( 45^{\circ }-30^{\circ }\right) =\frac{\text{tg} 45^{\circ }-\text{tg} 30^{\circ }}{1+\text{tg} 45^{\circ }\text{tg} 30^{\circ }}=\frac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+1\left( \frac{1}{\sqrt{3}}\right) }=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=2-\sqrt{3}$
Задача 9
Намерете стойността на синус, косинус и тангенс от $75^{\circ }$
Използвайте, че $75^{\circ }=90^{\circ }-15^{\circ }$
A) $\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) \quad \cos 75^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) \quad \text{tg} 75^{\circ }=\frac{\left( \sqrt{3}+1\right) ^{2}}{2}$
B) $\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) \quad \cos 75^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) \quad \text{tg} 75^{\circ }=\frac{\left( \sqrt{3}-1\right) ^{2}}{2}$
C) $\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) \quad \cos 75^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) \quad \text{tg} 75^{\circ }=\frac{\left( \sqrt{3}-1\right) ^{2}}{2}$
D) $\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) \quad \cos 75^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) \quad \text{tg} 75^{\circ }=\frac{\left( \sqrt{3}+1\right) ^{2}}{2}$
A
B
C
D
Решение:
Отговор: $\sin 75^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) \quad \cos 75^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) \quad \text{tg} 75^{\circ }=\frac{\left( \sqrt{3}+1\right) ^{2}}{2}$
$\sin 75^{\circ }=\sin \left( 90^{\circ }-15^{\circ }\right) =\sin 90^{\circ }\cos 15^{\circ }-\cos 90^{\circ }\sin 15^{\circ }=$
$1\cdot \frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) -0\cdot \frac{\sqrt{2}}{4}% \left( \sqrt{3}-1\right) =\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) $
$\cos 75^{\circ }=\cos \left( 90^{\circ }-15^{\circ }\right) =\cos 90^{\circ }\cos 15^{\circ }+\sin 90^{\circ }\sin 15^{\circ }=$
$0\cdot \frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) +1\cdot \frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) =\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) $
$\text{tg} 75^{\circ }=\frac{\sin 75^{\circ }}{\cos 75^{\circ }}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}+1\right) }{\frac{\sqrt{2}}{4}\left( \sqrt{3}-1\right) }=\frac{\left( \sqrt{3}+1\right)^{2}}{\left( \sqrt{3}-1\right) \left( \sqrt{3}+1\right) }=\frac{\left( \sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}$
Задача 10
$\sin \left( \alpha +\beta \right) +\sin \left( \alpha -\beta \right) =$
$2\sin \beta \cos \alpha$
$2\sin \alpha \sin \beta$
$2\sin \alpha \cos \beta$
$2\cos \alpha \cos \beta$
Решение:
$\sin \left( \alpha +\beta \right) +\sin \left( \alpha -\beta \right) =\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha +\sin \alpha \cos \beta -\sin \beta \cos \alpha$
Тогава $\sin \left( \alpha +\beta \right) +\sin \left( \alpha -\beta \right) =2\sin \alpha \cos \beta$
Задача 11
$\sin \left( \alpha +\beta \right) -\sin \left( \alpha -\beta \right) =$
$2\cos \alpha \sin \beta$
$2\cos \alpha \cos \beta$
$2\sin \alpha \sin \beta$
$2\sin \alpha \cos \beta$
Решение:
$\sin \left( \alpha +\beta \right) -\sin \left( \alpha -\beta \right) =\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha -\left( \sin \alpha \cos \beta-\sin \beta \cos \alpha \right) $
$=2\cos \alpha \sin \beta $
Задача 12
$\cos \left( \alpha +\beta \right) +\cos\left( \alpha -\beta \right) =$
$2\sin \alpha \sin \beta$
$2\cos \alpha \sin \beta$
$2\sin \alpha \cos \beta$
$2\cos \alpha \cos \beta$
Решение:
$\cos \left( \alpha +\beta \right) +\cos \left( \alpha -\beta \right) =\left( \cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \right) +\left( \cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right) =2\cos \alpha \cos \beta$
Задача 13
$\cos \left( \alpha +\beta \right) -\cos \left( \alpha -\beta \right) =$
$-2\sin \alpha \sin \beta$
$-2\sin \alpha \cos \beta$
$-2\cos \alpha \sin \beta$
$-2\cos \alpha \cos \beta$
Решение:
$\cos \left( \alpha +\beta \right) -\cos \left( \alpha -\beta \right) =\left( \cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \right) -\left( \cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right) =-2\sin \alpha \sin \beta $
Задача 14
$\frac{\text{tg} \left( \alpha +\beta \right) -\text{tg} \alpha }{1+\text{tg} \left( \alpha +\beta \right) \text{tg} \alpha }=$
$\text{tg} \beta $
$\text{tg} \alpha$
$\text{cotg} \beta$
$\text{cotg} \alpha $
Решение:
Използвайки тъждеството $\text{tg} (A-B)=\frac{\text{tg} A-\text{tg} B}{1+\text{tg} A\text{tg} B}$ получаваме
$\frac{\text{tg} \left( \alpha +\beta \right) -\text{tg} \alpha }{1+\text{tg} \left( \alpha +\beta \right) \text{tg} \alpha }=\text{tg} \left[ \left( \alpha +\beta \right) -\alpha \right] =\text{tg} \beta $
Доказахме, че $\frac{\text{tg} \left( \alpha +\beta \right) -\text{tg} \alpha }{1+\text{tg} \left( \alpha +\beta \right) \text{tg} \alpha }=\text{tg} \beta $
Задача 15
Намерете стойността на тригонометричния израз:
$\left( \sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \right)^{2}+\left( \cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right)^{2}=$
$0$
$1$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{\sqrt{2}}{3}$
Решение:
Тъй като $\sin \left( \alpha -\beta \right) =\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta $ и $\cos \left( \alpha -\beta \right) =\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta $
Тогава
$\left( \sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \right) ^{2}+\left( \cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \right) ^{2}=\sin ^{2}\left( \alpha -\beta \right) +\cos ^{2}\left( \alpha -\beta \right) =1$
Задача 16
$\text{cotg}\left( \alpha +\beta \right) =$
$\frac{\text{cotg} \alpha \text{cotg} \beta +1}{\text{cotg} \beta +\text{cotg} \alpha }$
$\frac{\text{cotg} \alpha \text{cotg} \beta -1}{\text{cotg} \beta -\text{cotg} \alpha }$
$\frac{\text{cotg} \alpha \text{cotg} \beta -1}{\text{cotg} \beta +\text{cotg} \alpha }$
$\frac{\text{cotg} \alpha \text{cotg} \beta +1}{\text{cotg} \beta -\text{cotg} \alpha }$
Решение:
$\text{cotg} \left( \alpha +\beta \right) =\frac{1}{\text{tg} \left( \alpha +\beta \right) }=\frac{1-\text{tg} \alpha \text{tg} \beta }{\text{tg} \alpha +\text{tg} \beta }=\frac{1-\frac{1}{\text{cotg} \alpha \text{cotg} \beta }}{\frac{1}{\text{cotg} \alpha }+\frac{1}{\text{cotg} \beta }}=\frac{\frac{\text{cotg} \alpha \text{cotg} \beta -1}{\text{cotg} \alpha \text{cotg} \beta }}{\frac{\text{cotg} \beta +\text{cotg} \alpha }{\text{cotg} \alpha \text{cotg} \beta }}=\frac{\text{cotg} \alpha \text{cotg} \beta -1}{\text{cotg} \beta +\text{cotg} \alpha }$
Доказахме, че $\text{cotg} \left( \alpha +\beta \right ) =\frac{\text{cotg} \alpha \text{cotg} \beta -1}{\text{cotg} \beta +\text{cotg} \alpha }$
Задача 17
$\text{cotg}\left( \alpha -\beta \right) =$
$\frac{\text{cotg }\alpha \text{cotg }\beta +1}{\text{cotg }\beta -\text{cotg }\alpha }$
$\frac{\text{cotg }\alpha \text{cotg }\beta -1}{\text{cotg }\beta -\text{cotg }\alpha }$
$\frac{\text{cotg }\alpha \text{cotg }\beta +1}{\text{cotg }\beta +\text{cotg }\alpha }$
$\frac{\text{cotg }\alpha \text{cotg }\beta -1}{\text{cotg }\beta +\text{cotg }\alpha }$
Решение:
Отговор: $\text{cotg }\left( \alpha -\beta \right) =\frac{\text{cotg }\alpha \text{cotg }\beta +1}{\text{cotg }\beta -\text{cotg }\alpha }$
Тъй като $\text{cotg }\left( -\beta \right) =-\text{cotg }\left( \beta \right) $
и ако използваме, че $\text{cotg }\left( \alpha +\beta \right) =\frac{\text{cotg }\alpha \text{cotg }\beta -1}{\text{cotg }\beta +\text{cotg }\alpha }$
Then $\text{cotg }\left( \alpha -\beta \right) =\text{cotg }\left[ \alpha +\left( -\beta \right) \right] =\frac{\text{cotg }\alpha \text{cotg }\left( -\beta \right) -1}{\text{cotg }\left( -\beta \right) +\text{cotg }\alpha }=\frac{-\text{cotg }\alpha \text{cotg }\beta -1}{-\text{cotg }\beta +\text{cotg }\alpha }=\frac{\text{cotg }\alpha \text{cotg }\beta +1}{\text{cotg }\beta -\text{cotg }\alpha }$
Доказахме, че $\text{cotg } \left( \alpha +\beta \right) =\frac{\text{cotg }\alpha \text{cotg }\beta +1}{\text{cotg }\beta -\text{cotg }\alpha }$
Задача 18
$\sin \frac{1}{2}\theta =$
$\pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta }{2}}$
$\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}$
$\pm \sqrt{\frac{1-\sin \theta }{2}}$
$\pm \sqrt{\frac{1+\sin \theta }{2}}$
Решение:
Знаем, че $\cos 2\alpha =\cos^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =\left( \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha \right) -2\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha $,
Нека $\alpha =\frac{1}{2}\theta $.
Тогава, $\cos \theta =1-2\sin ^{2}\frac{1}{2}\theta $
$\sin ^{2}\frac{1}{2}\theta =\frac{1-\cos \theta }{2}$
Така
$\sin \frac{1}{2}\theta =\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}$
Задача 19
$\cos \frac{1}{2}\theta =$
$\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}$
$\pm \sqrt{\frac{1+\sin \theta }{2}}$
$\pm \sqrt{\frac{1-\sin \theta }{2}}$
$\pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta }{2}}$
Решение:
$\cos 2\alpha =\cos^{2}\alpha -\sin^{2}\alpha =\left( \cos^{2}\alpha +\cos^{2}\alpha \right) -\cos^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =\left( \cos^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha \right) -\left( \cos ^{2}\alpha +\sin^{2}\alpha \right) $
$=2\cos ^{2}\alpha -1$
Нека $\alpha =\frac{1}{2}\theta $.
$\cos \theta =2\cos ^{2}\frac{1}{2}\theta -1$,then $\cos ^{2}\frac{1}{2}\theta =\frac{1+\cos \theta }{2}$
Така $\cos \frac{1}{2}\theta =\pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta }{2}}$
Задача 20
$\text{tg}\frac{1}{2}\theta =$
$\frac{\sin \theta }{1-\cos \theta }$
$\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }$
$\frac{\cos \theta }{1+\sin \theta }$
$\frac{\cos \theta }{1-\sin \theta }$
Решение:
$\text{tg} \frac{1}{2}\theta =\frac{\sin \frac{1}{2}\theta }{\cos \frac{1}{2}\theta }=\frac{\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}}{\pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta }{2}}}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}=\pm \sqrt{\frac{\left( 1-\cos \theta \right) \left(1+\cos \theta \right) }{\left( 1+\cos \theta \right) \left( 1+\cos \theta \right) }}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos ^{2}\theta }{\left( 1+\cos \theta \right) ^{2}}}=\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }$
Доказахме, че $\text{tg} \frac{1}{2}\theta =\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }$
Задача 21
Кое от следните тригонометрични тъждества е вярно?
$1-\frac{1}{2}\sin 2x=\frac{\sin ^{3}x-\cos ^{3}x}{\sin x+\cos x}$
$1-\frac{1}{2}\sin 2x=\frac{\sin ^{3}x+\cos ^{3}x}{\sin x-\cos x}$
$1-\frac{1}{2}\sin 2x=\frac{\sin ^{3}x+\cos ^{3}x}{\sin x+\cos x}$
$1-\frac{1}{2}\sin 2x=\frac{\sin ^{3}x-\cos ^{3}x}{\sin x-\cos x}$
Решение:
Отговор: $1-\frac{1}{2}\sin 2x=\frac{\sin^{3}x+\cos^{3}x}{\sin x+\cos x}$
Когато разложим на множители числителя получаваме:
$\frac{\sin^{3}x+\cos^{3}x}{\sin x+\cos x}=\frac{\left( \sin x+\cos x\right) \left( \sin^{2}x-\sin x\cos x+\cos ^{2}x\right) }{\sin x+\cos x}=\sin ^{2}x-\sin x\cos x+\cos ^{2}x=$
$=1-\sin x\cos x=1-\frac{1}{2}\left( 2\sin x\cos x\right) =1-\frac{1}{2} \sin 2x$
Доказахме, че $1-\frac{1}{2}\sin 2x=\frac{\sin^{3}x+\cos^{3}x}{\sin x+\cos x}$
Задача 22
Упростете изразът:
$\sin \left( \theta+30^{\circ }\right) +\cos \left( \theta +60^{\circ}\right)=$
$\sin \theta$
$\cos \theta$
$\text{tg} \theta$
$\text{cotg} \theta$
Решение:
Since $\sin \left( \theta +30^{\circ }\right) +\cos \left( \theta +60^{\circ }\right) =\left( \sin \theta \cos 30^{\circ }+\cos \theta \sin 30^{\circ}\right) +\left( \cos \theta \cos 60^{\circ }-\sin \theta \sin 60^{\circ}\right) $
Сега заместваме $\cos 30^{\circ },\sin 30^{\circ },\cos 60^{\circ },\sin 60^{\circ }$
$\sin \left( \theta +30^{\circ }\right) +\cos \left( \theta +60^{\circ }\right) =\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta +\frac{1}{2}\cos \theta +\frac{1}{2}\cos \theta -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta =\cos \theta $
Задача 23
Упростете: $\frac{1-\text{tg}^{2}\frac{1}{2}x}{1+\text{tg}^{2}\frac{1}{2}x}=$
$\sin x$
$\cos x$
$\text{tg} x$
$\text{cotg} x$
Решение:
$\frac{1-\text{tg}^{2}\frac{1}{2}x}{1+\text{tg}^{2}\frac{1}{2}x}=\frac{1-\frac{\sin ^{2}\frac{1}{2}x}{\cos^{2}\frac{1}{2}x}}{\sec^{2}\frac{1}{2}x}=\frac{\left( 1-\frac{\sin^{2}\frac{1}{2}x}{\cos ^{2}\frac{1}{2}x}\right) \cos^{2}\frac{1}{2}x}{\sec^{2}\frac{1}{2}x\cos ^{2}\frac{1}{2}x}=\cos ^{2}\frac{1}{2}x-\sin^{2}\frac{1}{2}x=\cos x$
Добавете задача на текущата страница.
Текст на задачата
Решение:
Отговор:
Името ви,
ако желаете да се публикува
E-mail(ако желаете да ви уведомим, когато публикваме задачата)
Забележка
: може да използвате [tex][/tex] (ако желаете да използвате latex).
Верни:
Грешни:
Нерешени задачи:
Обратна връзка
Съдържание:
1 клас
,
2 клас
Електронна поща:
Форум за математика(архив)
Copyright © 2005 - 2025. Копирането на материали е нарушение на закона за авторските права и сайтът ще си търси правата!