Уравнение на окръжност - задачи с решения

Решение:
Отговор: центърът е в $(0,3)\qquad r=7$

Каноничната форма на уравнението на окръжност е

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$, където центърът е разположен в точка $O:(h, k)$, а радиусът е $r$

Имаме $x^{2}+(y-3)^{2}=49$,

$O:(0,3)\qquad r=7$

Решение:
Каноничната форма на уравнението на окръжност е
$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$, където центъра е в точка $(h,k)$ и $r$ е радиусът.

Нашето уравнение е
$(x+2)^{2}+y^{2}=36$

Центърът е в точка $(-2,0)$ и радиусът е 6.

Решение:
Отговор: $O(-1,-4)$ и $r=\sqrt{\frac{33}{2}}$

$2x^{2}+2y^{2}+4x+16y+1=0\Longrightarrow x^{2}+y^{2}+2x+8y+\frac{1}{2}=0$ тогава

$\left( x+1\right)^{2}+\left( y+4\right)^{2}-1-16+\frac{1}{2}=0\Longrightarrow \left( x+1\right) ^{2}+\left( y+4\right) ^{2}=\frac{33}{2}$

Вижда се, че центърът е разположен в точка $(-1,-4)$, а радиуса е $\sqrt{\frac{33}{2}}$

Решение:
Отговор: $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=16$

Каноничното уравнение на окръжност има вида
$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$, където центърът е $(h,k)$, радиуса е $r$

Така уравнението на окръжността е $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=4^{2}\Longrightarrow (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=16$

Решение:
Каноничното уравнение на окръжност има вида

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$, където центъра е разположен в точка $(h,k)$ и радиуса е $r$

Така $(x+1)^{2}+(y-4)^{2}=2^{2}\Longrightarrow (x+1)^{2}+(y-4)^{2}=4$

Решение:
Трябва да преобразуваме уравнението в сума от квадрати.
$x^{2}+y^{2}-4x+2y=0\Longrightarrow \left( x-2\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}-4-1=0$
Тогава $\left(x-2\right)^{2}+\left( y+1\right)^{2}=5$
Виждаме, че центърът е в точка
$(2,-1)$, а радиуса е $r=\sqrt{5}$.

Решение:
Канонична форма на уравнението на окръжност е
$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

Центърът на окръжността е в точка $(0,0)$, а $r$ е радиусът.

Така $x^{2}+y^{2}=r^{2}\Longrightarrow r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
Знаем, че точката $(-1,-2)$ принадлежи на окръжността, следователно
$r=\sqrt{\left( -1\right)^{2}+\left(-2\right) ^{2}}=\sqrt{5}$

Уравнението е $x^{2}+y^{2}=5$

Решение:
Канонична форма на уравнението на окръжност е

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$
Центърът на окръжността е в точка $(4,-5)$, а $r$ е радиуса.

Така $(x-4)^{2}+(y+5)^{2}=r^{2}\Longrightarrow r=\sqrt{(x-4)^{2}+(y+5)^{2}}$ Знаем, че точката $(7,-3)$ принадлежи на окръжността, следователно
$r=\sqrt{\left( 3\right)^{2}+\left( 2\right)^{2}}=\sqrt{13}$

Така уравнението има вида $(x-4)^{2}+(y+5)^{2}=13$

Решение:
Отговор: $(x-5)^{2}+(y-6)^{2}=36$

Тъй като окръжността се допира до абцисата $r=\left\vert y_{c}\right\vert$ където центърът е в точка $(x_{c},y_{c})$

Така $y_{c}=6$ и уравнението е $(x-5)^{2}+(y-6)^{2}=36$.

Решение:
Тъй като окръжността се допира до ординатата $r=\left\vert x_{c}\right\vert$, където центъра е в точка $(x_{c},y_{c})$.

Така $x_{c}=-4$ и уравнението е $(x+4)^{2}+(y-3)^{2}=16$.

Решение:
Отговор: $(2,3)$

Уравнението на кръжността е
$(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=16$
Нека да проверим коя от точките удовлетворява уравнението.

$A(2,3):(2+2)^{2}+(3-3)^{2}=16\Longrightarrow 16=16$ тогава $A(2,3)\in C$

$B(-4,3):(-4+2)^{2}+(3-3)^{2}=16\Longrightarrow 4\neq 16$ тогава $B(-4,3)\notin C$

$D(1,5):(1+2)^{2}+(5-3)^{2}=16\Longrightarrow 9+4=13\neq 16$ тогава $D(1,5)\notin C$

Решение:
Отговор: $x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$, където $D=-4\qquad E=0\qquad F=-21$

Уравнението на тангентата в точка $\left( x_{t},y_{t}\right)=(5,4)$ е

$y-y_{t}=\left( \frac{-2x_{t}-D}{2y_{t}+E}\right) (x-x_{t})$ Така

$y-4=\left( \frac{-10+4}{8+0}\right) (x-5)\Longrightarrow y-4=\frac{-3}{4}(x-5)$

$4y+3x-31=0$

Решение:
Отговор: $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=\frac{9}{5}$

Знаем, че $r$ е разстоянието е между $O:(h,k)$ и правата $y-x-2=0$

Така $O:(2,-1)$ $r=d(O,L)=\frac{\left\vert -2-1-2\right\vert }{\sqrt{1^{2}+\left( -1\right) ^{2}}}=\frac{5}{\sqrt{2}}$
Така уравнението на окръжността има вида:

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\Longrightarrow (x-2)^{2}+(y+1)^{2}=\frac{25}{2}$

Решение:
Концентричната окръжност е с уравнение $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=r^{2}$

Знаем, че радиусът $r$ е разстоянието между центъра $O:(h,k)$ и правата
Така $O:(2,-1)$ $r=d(C,L)=\frac{\left\vert 2\times 2+1+2\right\vert }{\sqrt{2^{2}+\left( -1\right) ^{2}}}=\frac{7}{\sqrt{5}}=\frac{7}{5}\sqrt{5}$

Уравнението на окръжността е $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=\frac{49}{5}$

Решение:
Отговор: L2: $3x+4y-31=0$

Правата, която е тангента на окръжността и самата окръжност трябва да имат само 1 обща точка.

За тези прави полуваваме $y=\frac{C-3x}{4}$ и заместваме $y$ в уравнението на окръжността $(x-2)^{2}+\left( \frac{C-3x}{4}\right)^{2}=25$

И сега трябва да решим уравнението

$x^{2}-4x+4+\frac{C^{2}-6Cx+9x^{2}}{16}=25\Longrightarrow 16x^{2}-64x+64+C^{2}-6Cx+9x^{2}=400$

Така $25x^{2}-(64+6C)x+\left( 64+C^{2}-400\right) =0$

$x=\frac{(64+6C)\pm \sqrt{(64+6C)^{2}-100\left( 64+C^{2}-400\right) }}{50}$

Тъй като за $x$ трябва да имаме само 1 решение (точката на допиране),
то $(64+6C)^{2}-100\left( 64+C^{2}-400\right) =0$ Имаме 3 варианта $C=6,31,60$
Единствената стойност на $C$, за която се удовлетворява последното уравнение е $C=31$, тъй като
$(64+6\cdot 31)^{2}-100\left( 64+31^{2}-400\right) =250^{2}-62500=0$

Така L2: $3x+4y-31=0$ е правата, която е тангента на окръжността.