Задачи от екстремуми - много трудни задачи с решения

Решение:
[tex]f(x)[/tex] е обърната нагоре парабола (т.к. старшият й коефициент е [tex]a^2+1>0[/tex]), следователно има само един екстремум и той е (глобален) минимум. [tex]f'(x)=0 <=> 2(a^2+1)x-2a=0[/tex], or [tex]x=\frac{a}{a^2+1}[/tex]. За щастие, [tex]\frac{a}{a^2+1}=\frac{1}{2}.\frac{2a}{a^2+1} \le \frac{1}{2}[/tex] (т.к. [tex]0 \le \frac{2a}{a^2+1} \le 1[/tex] за всяко положително a). Следователно минимумът в интервала съвпада с глобалния минимум и се достига за [tex]x=\frac{a}{a^2+1}[/tex]. Заместваме в f(x) и стигаме до
[tex]f_{min}(x)=f(\frac{a}{a^2+1})=(a^2+1).(\frac{a}{a^2+1})^2-2a.\frac{a}{a^2+1}+10=\frac{a^2}{a^2+1}-\frac{2a^2}{a^2+1}+10=10-\frac{a^2}{a^2+1}=\frac{9a^2+10}{a^2+1}[/tex]. Искаме това да е равно на [tex]\frac{451}{50}[/tex]:
[tex]\frac{9a^2+10}{a^2+1}=\frac{451}{50}[/tex], умножаваме на кръст:
[tex]450a^2+500=451a^2+451[/tex], или [tex]a^2=49[/tex]. Откъдето [tex]a=7[/tex], т.к. a е положително число.