Задачи от екстремуми - трудни задачи с решения

Решение:
Записваме функцията като [tex]f(x)=-x^2+18x+3=-x^2+2.9.x-81+81+3=-(x^2-2.9.x+9^2)+84=-(x-9)^2+84[/tex]. Тъй като [tex]-(x-9)^2 \le 0[/tex], то [tex]f(x) \le 84[/tex] с равенство за x=9.

Решение:
[tex]f(x)=\sqrt{2}|sinx+cosx|=\sqrt{2}|\sqrt{2}\frac{\sqrt{2}}{2}(sinx+cosx)|=2|\frac{\sqrt{2}}{2}sinx+\frac{\sqrt{2}}{2}cosx|=2|\sin\frac{\pi}{4}sinx+\cos\frac{\pi}{4}cosx|=2|cos(\frac{\pi}{4}-x)|[/tex]. Знаем, че [tex]|cosu| \le 1[/tex], следователно [tex]2|cos(\frac{\pi}{4}-x)| \le 2.1=2[/tex].

Решение:
[tex]1+|x-1| \ge 1[/tex], с равенство при [tex]x=1[/tex]. Следователно [tex]|1+|x-1|| \ge |1|=1[/tex], тъй като 1 е положително число.

Решение:
[tex]f(x)=x^2+2.\frac{5}{2}x+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}+1=(x+\frac{5}{2})^2-\frac{21}{4}[/tex]. Т.к. [tex](x+\frac{5}{2})^2 \ge 0[/tex], най-малката стойност на f(x) е [tex]-\frac{21}{4}[/tex]

Решение:
Екстремумите ба [tex]f(x)[/tex] се достигат за стойностите на x, при които първата й производна се занулява. [tex]f'(x)=2x+8[/tex], а нейният корен е [tex]x=-4[/tex]. Следователно, екстремум за f(x) е [tex]f(-4)=(-4)^2+8.(-4)+15=16-32+15=-1[/tex]. Тъй като графиката на f(x) е отворена нагоре парабола, този екстремум е минимум.

Решение:
Тъй като функцията е квадратна с отрицателен старши коефициент, единственият й екстремум е максимум. Той също се получава за стойност на x, която е корен на уравнението[tex]f'(x)=0[/tex]. Изчисляваме [tex]f'(x)=-2x-10[/tex], корен на който полином е [tex]x=-5[/tex].

Решение:
[tex]f(x)[/tex] е полином от четвърта степен с положителен старши коефициент, който задължително има минимална стойност. Първата й производна е [tex]f'(x)=x^3+3x^2+4x-8=x^3-x^2+4x^2+4x-8=x^2(x-1)+4(x^2+x-2)=x^2(x-1)+(4x+8)(x-1)=(x-1)(x^2+4x+8)[/tex]. [tex]x=1[/tex] е един от корените на производната. Тъй като [tex]x^2+4x+8=x^2+4x+4+4=(x+2)^2+4>0[/tex], производната няма други корени. Минимумът се достига за [tex]x=1[/tex] и той е [tex]f(1)=\frac{41}{4}[/tex].

Решение:
[tex]f'(x)=x^3-6x^2+11x-6=x^3-x^2-5x^2+5x+6x-6=x^2(x-1)-5x(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x^2-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3)[/tex]. Т.к. f(x) е полином от четвърта степен с положителен старши коефициент, тя достига минималната си стойност в корен на [tex]f'(x)[/tex]. Т.к. [tex]f'(x)[/tex] има три корена ([tex]x_1=1,x_2=2,x_3=3[/tex]), заместваме в f(x) с всеки от тях и пресмятаме стойността й: [tex]f(1)=\frac{23}{4}[/tex], [tex]f(2)=6[/tex] и [tex]f(3)=\frac{23}{4}[/tex]. Следователно функцията има минимална стойност [tex]\frac{23}{4}[/tex], която се достига за [tex]x=1[/tex] и [tex]x=3[/tex].

Решение:
Записваме [tex]f(x)=cos^2x+2cosx+2(1-cos^2x)=cos^2x+2cosx+2-2cos^2x=-cos^2x+2cosx+2[/tex]. Полагамеe [tex]cosx=t \in [-1;1][/tex] за да получим [tex]g(t)=f(x)=-t^2+2t+2, t \in [-1;1][/tex]. Но [tex]g(t)=-t^2+2t+2=-t^2+2t-1+3=-(t-1)^2+3[/tex], което приема максимална стойност 3 за [tex]t=1[/tex], която стойност на t принадлежи в исканият интервал, следователно максималната стойност на f(x) е 3.

Решение:
[tex]f(t)=log_2(t)[/tex] е строго растяща функция за [tex]t > 0[/tex], следователно тя получава минималната си стойност за най-малкият възможен аргумент. Но [tex]|x|+2 \ge 2[/tex] (т.к. [tex]|x|[/tex] е неотрицателно), следователно [tex]log_2(|x|+2) \ge log_2(2)=1[/tex]