Задачи от геометрична прогресия - задачи с решения

Решение:
Числата образуват геометрична прогресия с първи член 8 и частно [tex]\frac12[/tex].

Решение:
Частното на геометричната прогресия е -2.

Решение:
От дефиницята на геометрична прогресия [tex]q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{a_2}{a_1}=\frac{15}{5}=3[/tex]

Решение:
От дефиницията на геометрична прогресия имаме [tex]q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{5}{-1}=-5[/tex]

Решение:
[tex]\frac{20}{5}=\frac{a_3}{a_1}=\frac{a_1q^2}{a_1}=q^2[/tex], следователно [tex]q^2=4[/tex], което води до две възможни стойности за q: [tex]q=2[/tex] и [tex]q=-2[/tex]. Но [tex]{a_n}[/tex] е растяща геометрична прогресия, откъдето [tex]q>1>0[/tex] и [tex]q=2[/tex] остава единственият възможен отговор.

Решение:
[tex]\frac{-40}{5}=\frac{a_4}{a_1}=\frac{a_1q^3}{a_1}=q^3=-8[/tex], откъдето получаваме [tex]q=-2[/tex].

Решение:
Т.к. прогресията е алтернираща, [tex]q<0[/tex]. [tex]a_1q^2=a_3 \leftrightarrow q^2=\frac{a_3}{a_1}=\frac{5}{25}[/tex], откъдето [tex]q=\frac{1}{5}[/tex] или [tex]q=-\frac{1}{5}[/tex]. Крайния отговор е [tex]-\frac{1}{5}[/tex].

Решение:
[tex]a_4=a_1.q^3=2.3^3=2.27=54[/tex]

Решение:
[tex]a_4=a_1.q^3[/tex], следователно [tex]a_1=a_4.q^{-3}=12.(\frac{1}{3})^{-3}=12.3^3=12.27=324[/tex]

Решение:
Частното на геометричната прогресия е [tex]q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{10}{5}=2[/tex].
[tex]a_6=a_1.q^5=5.2^5=5.32=160[/tex]

Решение:
Тъй като редицата [tex]a_n[/tex] е растяща, [tex]a_n > a_1 > 0[/tex] за всяко [tex]n>1[/tex]. [tex]a_{\frac{5+1}{2}}=\sqrt{a_5.a_1}[/tex], откъдето [tex]a_3=\sqrt{2.162}=\sqrt{324}=18[/tex]

Решение:
Формулата за сумата на първите n члена на геометрична прогресия е [tex]S_n=a_1.\frac{q^n-1}{q-1}[/tex]. Замествайки с дадените ни стойности, получаваме [tex]S_5=2.\frac{1-3^5}{1-3}=2.\frac{1-243}{-2}=242[/tex]

Решение:
[tex]S_5=a_1\cdot\frac{1-q^5}{1-q}=\frac{1-5^5}{1-5}=\frac{1-3125}{-4}=\frac{3124}{4}=781[/tex]

Решение:
Знаем, че ако безкрайни геометрична прогресия е сходяща, сумата на елементите й се задава по формулата [tex]S=a_1.\frac{1}{1-q}[/tex]. В нашия случай, [tex]S=1.\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2[/tex]