Задачи от геометрична прогресия - трудни задачи с решения

Решение:
[tex]\begin{array}{|l}a_1q^3-a_1q=18\\a_1q^4-a_1q^2=36\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}a_1q(q^2-1)=18\\a_1q^2(q^2-1)=36\end{array}[/tex]
Делейки ги, получаваме [tex]\frac{a_1q^2(q^2-1)}{a_1q(q^2-1)}=\frac{36}{18}[/tex], или [tex]q=2[/tex]. Заместваме в първото уравнение:
[tex]a_1.8-a_1.2=18[/tex]
[tex]a_1=3[/tex]
[tex]a_3=a_1q^2=3.4=12[/tex]

Решение:
[tex]a_6=a_1.q^5=15.(-4)^5=-15.1024=-15360[/tex]

Решение:
[tex]S_{10}=a_1\frac{1-q^{10}}{1-q}=2\cdot\frac{1-(-2)^{10}}{1-(-2)}=-2.\frac{1023}{3}=-2 . 341=-682[/tex]

Решение:
Определяме геометричната прогресия [tex]{a_n}[/tex]: [tex]a_1=7[/tex] и [tex]q=7[/tex]. Трябва да намерим [tex]S_5=a_1.\frac{1-q^5}{1-q}=7.\frac{1-7^5}{1-7}=7.\frac{16806}{6}=7.2801=19607[/tex]

Решение:
[tex]a_4=-\sqrt{a_7.a_1}[/tex], т.к. [tex]4=\frac{7+1}{2}[/tex], а прогресията е алтернираща. Тогава [tex]a_4=-\sqrt{5.405}=-\sqrt{5.5.81}=-5.9=-45[/tex]

Решение:
Трябва да намерим стойността на произведението [tex]a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7=(a_1a_7)(a_2a_6) (a_3a_5)a_4=a_4^2a_4^2a_4^2a_4=a_4^{7}=(a_1.q^3)^7=(\frac{2}{11^3}.11^3)^7=2^7=128[/tex]

Решение:
[tex]a_n=\frac{2^n}{3.3^n}=\frac{1}{3}.(\frac{2}{3})^n[/tex]. Тогава [tex]a_1=\frac{2}{9}[/tex] и [tex]q=\frac{2}{3}[/tex].
Безкрайната сума се задава по формулата [tex]S=a_1.\frac{1}{1-q}=\frac{2}{9}.\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=\frac{2}{9}.\frac{1}{\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}[/tex]

Решение:
[tex]a_1=\frac{2.3^1}{5}=\frac{6}{5}[/tex]. Виждаме, че [tex]q=3[/tex]. Тогава [tex]S_{4}=a_1 \cdot \frac{1-q^{4}}{1-q}=\frac{6}{5} \cdot \frac{1-3^4}{1-3}=\frac{6}{5} \cdot \frac{80}{2}=48[/tex]

Решение:
Знаем, че [tex]S=a_1.\frac{1}{1-q}[/tex], откъдето [tex]1-q=\frac{a_1}{S}[/tex], или [tex]q=1-\frac{a_1}{S}=1-\frac{4}{7}=\frac{3}{7}[/tex]

Решение:
От [tex]S=a_1.\frac{1}{1-q}[/tex] имаме, че [tex]1-q=\frac{a_1}{S}[/tex], или [tex]q=1-\frac{a_1}{S}=1-\frac{9}{15}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}[/tex]

Решение:
[tex]S_4=a_1.\frac{q^4-1}{q-1}[/tex], откъдето [tex]\frac{q^4-1}{q-1}=40[/tex], или [tex]q^4-1=40q-40[/tex]
[tex]q^4-40q+39=0[/tex]. Но [tex]q^4-40q+39=q^4-q-39q+39=q(q^3-1)-39(q-1)=q(q-1)(q^2+q+1)-39(q-1)=(q-1)(q^3+q^2+q-39)[/tex].
[tex]q=1[/tex] очевидно не е решение (ако приемем, че q=1: [tex]a_n=1[/tex] за всяко n и [tex]S_4=4 \ne 40[/tex]), следователно q е корен на уравнението [tex]q^3+q^2+q-39=0[/tex].
[tex]q^3-27+q^2-9+q-3=0[/tex]
[tex](q-3)(q^2+3q+9)+(q-3)(q+3)+1(q-3)=0[/tex]
[tex](q-3)(q^2+3q+3+q+3+1)=0[/tex]
[tex](q-3)(q^2+4q+7)=0[/tex]. Но [tex]q^2+4q+7=(q+2)^2+3>0[/tex], така че този квадратен тричлен не носи решения. Единственият оставащ корен е [tex]q=3[/tex], което е и отговор на задачата.

Решение:
Нека означим прогресията с [tex]a,aq,aq^2,...[/tex]. Нейната сума е [tex]S_1=6=\frac{a}{1-q}[/tex]. Квадратите на членовете й са [tex]a^2, a^2q^2, a^2q^4, ...[/tex], които образуват друга геометрична прогресия - с първи член [tex]a^2[/tex] и частно [tex]q^2[/tex]. Нейната сума е [tex]S_2=\frac{a^2}{1-q^2}=\frac{a^2}{(1-q)(1+q)}[/tex]. Тогава
[tex]\frac{S_2}{S_1}=\frac{a^2}{1-q^2}.\frac{1-q}{a}=\frac{a}{1+q}=3[/tex]. Имаме системата
[tex]\begin{array}{|l}a=3+3q\\a=6-6q\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}2a=6+6q\\a=6-6q\end{array}[/tex]. Събираме ги, за да получим
[tex]3a=6+6[/tex], или [tex]a=4[/tex]

Решение:
[tex]0,272727(27)=27.10^{-2}+27.10^{-4}+27.10^{-6}+...[/tex], което е сумата на безкрайна геометрична прогресия ([tex]a_1=27.10^{-2}; q=10^{-2}[/tex]), която по формула е
[tex]\frac{27.10^{-2}}{1-10^{-2}}=\frac{\frac{27}{100}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}[/tex]

Решение:
Използвайки, че [tex]a_n=a_1.q^{n-1}[/tex] получаваме :
[tex]\begin{array}{|l}a_1q+a_1q^4-a_1q^3=10\\a_1q^2+a_1q^5-a_1q^4=20\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l}a_1q(1+q^3-q^2)=10\\a_1q^2(1+q^3-q^2)=20\end{array}[/tex]. Делим двете уравнения почленно и получаваме

[tex]\frac{a_1q^2(1+q^3-q^2)}{a_1q(1+q^3-q^2)}=\frac{20}{10}=2[/tex] => [tex]q=2[/tex]. Замествайки в първото уравнение, получаваме [tex]a_2+8a_2-4a_2=10[/tex], или [tex]5a_2=10[/tex]

[tex]a_2=2[/tex].

Решение:
Нека първият член е а. А частното е q. Вторият е 2 = aq или $q = \frac{2}{a}$ От формулата за намиране на сумата на безкрайна геометрична прогресия имаме: [tex]S=\frac{a}{1-q} = 8[/tex]
[tex]S=\frac{a}{1-\frac{2}{a}} = 8[/tex]
[tex]\frac{a}{1-\frac{2}{a}} = 8[/tex]
[tex]a = 8(1-\frac{2}{a})[/tex]
[tex]a = 8-\frac{16}{a}[/tex]
[tex]a^2 = 8a - 16[/tex]
[tex]a^2 - 2\cdot4a + 4^2=0[/tex]
[tex](a-4)^2=0[/tex]
$a=4$

Решение:
Нека означим [tex]x_2=x_1q[/tex], [tex]y_1=x_1q^2[/tex], [tex]y_2=x_1q^3[/tex]. От формулите на Виет знаем, че
[tex]\begin{array}{|l}x_1+x_2=x_1(1+q)=3\\y_1+y_2=x_1(q^2+q^3)=x_1q^2(1+q)=12\end{array}[/tex]. Делим двете уравнения почленно и получаваме [tex]q^2=4[/tex], или [tex]q=2[/tex] (прогресията няма да бъде растяща ако q е отрицателно). От [tex]x_1(q+1)=3[/tex] имаме [tex]x_1=1, x_2=2, y_1=4, y_2=8[/tex].
Използвайки формулите на Виет отново, имаме [tex]a=x_1x_2=2[/tex] и [tex]-b=y_1y_2=32[/tex]. Тогава [tex]ab=2.(-32)=-64[/tex].