Задачи от прогресии - много трудни задачи с решения

Решение:
От даденото и свойствата на геометрична и аритметична прогресия знаем, че [tex]b^2=ac[/tex] и [tex]4b=3c+a[/tex]. Ако повдигнем второто равенство на квадрат, получаваме [tex]16b^2=a^2+6ac+9c^2[/tex]. Замествайки тук [tex]b^2[/tex] с [tex]ac[/tex], получаваме
[tex]a^2-10ac+9c^2=0[/tex], което означава, че или [tex]a=c[/tex], или [tex]a=9c[/tex]. Нека предположим, че [tex]a=c[/tex]. Тогава аритметичната прогресия придобива вида [tex]c,2b,3c[/tex], което ни дава [tex]4b=3c+c=4c[/tex], или [tex]b=c[/tex], което не е решение (защото геометричната прогресия не е константна).
Следователно [tex]a=9c[/tex]. Аритметичната прогресия става [tex]9c,2b,3c[/tex], откъдето получаваме [tex]4b=9c+3c=12c[/tex], или [tex]b=3c[/tex]. Тогава геометричната прогресия е от вида [tex]9c,3c,c[/tex], а частното й е очевидно[tex]q=\frac{1}{3}[/tex].

Решение:
Тъй като [tex]a,b,c[/tex] образуват аритметична прогресия, можем да кажем, че
[tex]a=b-d[/tex], [tex]c=b+d[/tex]. От [tex]b,c,d[/tex] образуват геометрична прогресия знаем, че [tex]c=b.q[/tex] и [tex]d=bq^2[/tex]. Прибавяйки и зависимостите между сумите, получаваме системата:
[tex]\begin{array}{|l}b-d+bq^2=37\\b+bq=36\\b+d=bq\end{array}[/tex]. Събирайки последните две уравнения, получаваме [tex]2b+d+bq=36+bq[/tex], или [tex]d=36-2b[/tex]. Замествайки в първото и третото уравнение получаваме
[tex]\begin{array}{|l}b+2b-36+bq^2=37\\b+36-2b=bq\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}(3+q^2)b=73\\b(q+1)=36\end{array}[/tex]. Делим тези две почленно и получаваме
[tex]\frac{3+q^2}{q+1}=\frac{73}{36}[/tex]
[tex]108+36q^2=73+73q[/tex]
[tex]36q^2-73q+35=0[/tex]. Решенията са [tex]q_1=\frac{5}{4}[/tex] и [tex]q_2=\frac{7}{9}[/tex]. Довеждат до [tex]b=\frac{36}{q+1}[/tex]:
[tex]b_1=\frac{36}{1+\frac{5}{4}}=\frac{36.4}{9}=16[/tex], [tex]c_1=b_1q=16.\frac{5}{4}=20[/tex], [tex]a_1=b_1-d=b_1-(c_1-b_1)=16-4=12[/tex] и [tex]d_1=c_1q=20.\frac{5}{4}=25[/tex]
и също [tex]b_2=\frac{36}{1+\frac{7}{9}}=\frac{36.9}{16}=\frac{81}{4}[/tex] с [tex]c_2=b_2q=\frac{81}{4}.\frac{7}{9}=\frac{63}{4}[/tex], [tex]a_2=b_2-(c_2-b_2)=\frac{81}{4}+\frac{18}{4}=\frac{99}{4}[/tex] и [tex]d_2=c_2q_2=\frac{63}{4}.\frac{7}{9}=\frac{49}{4}[/tex]. Търсим нецели числа, а [tex]a_1,b_1,c_1,d_1[/tex] не удовлетворяват това условие. Следователно единственият отговор остава [tex]d_2=\frac{49}{4}[/tex]

Решение:
Нека означим [tex]b=aq[/tex], [tex]c=aq^2[/tex].
Аритметичната прогресия придобива вида [tex]a,aq,aq^2-64[/tex], а втората геометрична [tex]a,aq-8,aq^2-64[/tex]. Използвайки съответните свойства за средните членове на двете прогресии, получаваме
[tex]\begin{array}{|l}2aq=a+aq^2-64\\(aq-8)^2=a(aq^2-64) \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}2aq=a+aq^2-64\\a^2q^2-16aq+64=a^2q^2-64a \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}2aq=a+aq^2-64\\aq=4+4a \end{array}[/tex]. Умножавайки последното с q и прилагайки го рекурсивно, получаваме [tex]aq^2=4q+4aq=4q+16+16a[/tex]. Заместваме в първото уравнение:
[tex]2aq=a+aq^2-64[/tex], или [tex]8+8a=a+4q+16+16a-64[/tex]
[tex]9a+4q=56[/tex], откъдето [tex]q=-\frac{9a}{4}+14[/tex]. Замествайки в [tex]aq=4+4a[/tex], получаваме
[tex]a(-\frac{9a}{4}+14)=4+4a[/tex]
[tex]-\frac{9a^2}{4}+14a=4+4a[/tex]
[tex]-9a^2+40a-16=0[/tex]
[tex]9a^2-40a+16=0[/tex]: [tex]D=20^2-9.16=16.25-16.9=16(25-9)=16^2[/tex]
[tex]a_{1,2}=\frac{20 \pm 16}{9}[/tex]. Но т.к. a е цяло число, остава единствено решение
[tex]a=\frac{20+16}{9}=4[/tex]. [tex]q=14-\frac{9a}{4}=14-9=5[/tex] и [tex]c=aq^2=4.5^2=100[/tex].

Решение:
15(1+4+9+16.........,)
15[n(n+1)(2n+1)/6]
15[20(20+1)(40+1) /6] =
5*20*21*41 / 2 =
5*10*21*41 = 50*861 = 43050