Задачи от прогресии - трудни задачи с решения

Решение:
Тъй като [tex]a,b,c[/tex] образуват аритметична прогресия, [tex]c=b+d=a+2d[/tex] и [tex]a+b+c=a+a+d+a+2d=3a+3d=9[/tex], следователно [tex]a+d=b=3[/tex] и [tex]a+c=6 => c=6-a[/tex]. Тъй като [tex]a+1,b+1,c+3[/tex] образуват геометрична прогресия, имаме [tex](b+1)^2=(a+1)(c+3)[/tex], или [tex]16=(a+1)(6-a+3)=(a+1)(9-a)[/tex]
[tex]16=9a+9-a^2-a[/tex]
[tex]a^2-8a+7=0[/tex], следователно [tex]a=7[/tex] или [tex]a=1[/tex]. Но ако [tex]a=7[/tex], [tex]c=6-a=6-7=-1<0[/tex] което противоречи на условието. Следователно [tex]a=1[/tex] и [tex]c=6-a=6-1=5[/tex].

Решение:
От свойствата на аритметична и геометрична прогресия имаме [tex]2a=3+b[/tex] и [tex](a-6)^2=3b[/tex]. Заместваме [tex]b=2a-3[/tex] в последното уравнение и получаваме
[tex]a^2-12a+36=6a-9[/tex]
[tex]a^2-18a+45=0[/tex]
Решенията на квадратното уравнение са [tex]a=3[/tex] и [tex]a=15[/tex]. Но ако [tex]a=3[/tex], аритметичната прогресия става [tex]3,3,b[/tex], което означава че [tex]b=3[/tex], което противоречи с [tex]b>3[/tex]. Следователно единствено решение остава [tex]a=15[/tex].

Решение:
[tex]\{a_n\}[/tex] има 9 елемента и от формулата за сумата на аритметична прогресия имаме [tex]S_a=\frac{a_1+a_9}{2}.9=369[/tex], откъдето [tex]a_1+a_9=82[/tex], или [tex]a_9=81[/tex]. Което означава, че [tex]b_9=81[/tex]. Тъй като [tex]b_9=b_1.q^8[/tex], или [tex]81=3^4=q^8[/tex], имаме [tex]q^2=3[/tex].
[tex]b_7=b_1.q^6=1.(q^2)^3=3^3=27[/tex]

Решение:
Знаем, че [tex]b=\frac{a+c}{2}[/tex] и [tex]a^2=bc=\frac{a+c}{2}.c[/tex]
[tex]2a^2=c(a+c)=ac+c^2[/tex]. Делим уравнението на [tex]a^2[/tex]:
[tex]2=\frac{c}{a}+(\frac{c}{a})^2[/tex], или
[tex](\frac{c}{a})^2-\frac{c}{a}-2=0[/tex]. Но [tex]\frac{c}{a}=q[/tex] (т.к. те са два последователни члена на геометричната прогресия). Следователно
[tex]q^2-q-2=0[/tex] с корени [tex]q_1=-1[/tex] и [tex]q_2=-2[/tex]. Но от [tex]q=-1[/tex] следва [tex]b=q^2c=1.c=c[/tex], което е противоречие с [tex]b \ne c[/tex]. Откъдето [tex]q=-2[/tex].

Решение:
Нека означим [tex]b=a+d, c=a+2d[/tex]. От [tex]a+b+c=a+a+d+a+2d=3a+3d=21[/tex] можем да кажем, че [tex]b=a+d=7[/tex]. Геометричната прогресия придобива вида [tex]a+2, 10, c+9[/tex], а аритметичната - [tex]a,7,c[/tex]. Което означава, че [tex]a+c=14[/tex] и [tex](a+2)(c+9)=100[/tex]. Замествайки [tex]a[/tex] с [tex]14-c[/tex] във второт уравнение, получаваме
[tex](16-c)(9+c)=100[/tex]
[tex]144-9c+16c-c^2=100[/tex]
[tex]c^2-7c-44=0[/tex], което дава решения [tex]c_1=-4[/tex] и [tex]c_2=11[/tex], но по условие c е положително число и единственият оставащ отговор е [tex]c=11[/tex].

Решение:
Можем да означим [tex]b=a+3d[/tex], [tex]c=a+7d[/tex], където [tex]d[/tex] е разликата на аритметичната прогресия, в която са числата. От свойството на средният елемент в геометрична прогресия, имаме
[tex](a+3d)^2=a(a+7d)[/tex]
[tex]a^2+6ad+9d^2=a^2=7ad[/tex]
[tex]ad=9d^2[/tex]. Тъй като аритметичната прогресия е неконстантна, [tex]d \ne 0[/tex]. Делим на него, за да получим
[tex]a=9d[/tex]. Тогава [tex]b=9d+3d=12d[/tex] и [tex]c=9d+7d=16d[/tex]. Но тъй като [tex]a,b,c,64[/tex] е геометрична прогресия,
[tex]\frac{64}{c}=\frac{b}{a}[/tex]
[tex]\frac{64}{16d}=\frac{12d}{9d}=\frac{4}{3}[/tex]
[tex]d=\frac{64.3}{16.4}=3[/tex], съответно [tex]a=27[/tex], [tex]b=36[/tex] и [tex]c=48[/tex] и отговорът е [tex]a+b-c=36+27-48=15[/tex]