Задачи от аритметична прогресия - задачи с решения

Решение:
Разликата е -5.

Решение:
Числата не са част от аритметична прогресия. Ако формираха прогресия щяха да са 2, 6, 10, 14, 18.

Решение:
d = 3,5 - 1 = 6 - 3,5 = 2,5
n = 10
a е първия член на прогресията
10-тия член = a +(n-1)d = 1 + (10-1)2,5 = 1 + 9 × 2,5 = 1 + 22,5 = 23,5

Решение:
Както знаем, естествени числа образуват аритметична прогресия с първи член [tex]a_1=1[/tex] и разлика [tex]d=1[/tex]. Следователно [tex]S_{10}=\frac{2a_1+(10-1).d}{2}.10=\frac{2+9}{2}.10=11.5=55[/tex]

Решение:
5 последователни числа формират аритметична прогресия с разлика 1.
n = 5,
S(5) = 100,
d = 1
Нека първото число е [tex]a[/tex]
То е неизвестно.

$S(n) = \frac{n}{2}(2a+d(n-1))$

$100 = \frac{5}{2} (2a + 1\cdot 4)$
$100 \cdot \frac{2}{5} = 2a +4$
$40 = 2a + 4$
$2a = 36$
$a = 18$
Първото число е 18, а другите числа са 18, 19, 20, 21, 22.

Решение:
Тъй като [tex]{a_n}[/tex] е аритметична прогресия, разликата между всеки два поредни члена е еднаква и тя е [tex]d=a_2-a_1=7-4=3[/tex]. Формулата за n-тия член е [tex]a_n=a_1+(n-1).d[/tex], замествайки с n=11 получаваме [tex]a_{11}=4+(11-1)\cdot 3=34[/tex]

Решение:
[tex]a_n=a_1+(n-1).d[/tex] => [tex]a_1=a_n-(n-1).d[/tex]. Заместваме с n=3 и получаваме [tex]a_1=43-2 . 12=43-24=19[/tex].

Решение:
[tex]a_{19}=a_1+(19-1).d=a_1+18.d[/tex]. Тъй като [tex]a_n[/tex] е аритметична прогресия, [tex]d=a_{n+1}-a_n=a_2-a_1=8-15=-7[/tex]. Заместваме d и [tex]a_1[/tex] с техните стойности и получаваме[tex]a_{19}=15-18.7=-111[/tex]

Решение:
[tex]a_n=a_1+(n-1).d=1+(n-1).1=n[/tex], откъдето [tex]a_{1083}=1083[/tex]

Решение:
[tex]d=a_2-a_1=5-(-11)=16[/tex]

Решение:
[tex]a_5=a_1+4d[/tex], [tex]a_2=a_1+d[/tex]. Изваждайки второто от първото, получаваме [tex]a_5-a_2=a_1+4d-a_1-d=3d[/tex], така че [tex]3d=18-9=9[/tex], откъдето [tex]d=3[/tex]

Решение:
[tex]a_{\frac{3+11}{2}}=\frac{a_3+a_{11}}{2}[/tex], откъдето [tex]a_7=\frac{13+25}{2}=\frac{38}{2}=19[/tex]

Решение:
Съществува директна формула за намирането на първите n елемента - тя е [tex]S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}.n[/tex]. За n=10 имаме [tex]S_{10}=\frac{2.15+9.3}{2}.10=\frac{30+27}{2}.10=57.5=285[/tex]

Решение:
Частното е -2.

Решение:
Сумата, която търсим, е [tex]a_2+a_4+a_6+a_8+a_10+a_{12}=[/tex]
[tex]=(a_1+d)+(a_1+3d)+(a_1+5d)+(a_1+7d)+(a_1+9d)+(a_1+11d)=[/tex]
[tex]=6.a_1+(1+3+5+7+9+11)d=6a_1+36d=[/tex]
[tex]=6.7+36.4=42+144=186[/tex]