Задачи от аритметична прогресия - много трудни задачи с решения

Решение:
От свойството на геометричната прогресия знаем, че за всяко естествено число [tex]m < k[/tex] важи [tex]\frac{a_{k+m}+a_{k-m}}{2}=a_{\frac{k+m+k-m}{2}}=a_k=0[/tex]. Но [tex]S_{2k-1}=a_{k-(k-1)}+a_{k-(k-2)}+...+a_{k+(k-2)}+a_{k+(k-1)}=a_{k-(k-1)}+a_{k + (k-1)} +a_{k-(k-2)}+a_{k+(k-2)}+...+a_k=0+0+...+0=0[/tex]

Решение:
Нека означим броят на членовете отляво с n. Стойността на лявата страна е сумата на аритметична прогресия от 1 до n, определена с [tex]a_1=1[/tex] и [tex]d=3[/tex]. Знаем, че за нашето избратно число n, [tex]a_n=x[/tex], или [tex]1+(n-1).3=x[/tex] и [tex]n=\frac{x+2}{3}[/tex].
[tex]S_n=\frac{2a_1+(n-1).d}{2}.n=\frac{2.1+(n-1).3}{2}.n[/tex]. Сега заместваме [tex]n-1[/tex] и [tex]n[/tex] със съответните функции на x:
[tex]S_n=\frac{2+x-1}{2}.\frac{x+2}{3}=\frac{(x+1)(x+2)}{6}[/tex]
[tex]\frac{(x+1)(x+2)}{6}=925[/tex]
[tex]x^2+3x+2=5550[/tex]
[tex]x^2+3x-5548=0[/tex]: [tex]D=9+4.5548=22201=149^2[/tex]
X е очевидно положително число, затова отрицателният корен на квадратното уравнение не може да бъде решение. Тогава остава единствено
[tex]x=\frac{-3+149}{2}=\frac{146}{2}=73[/tex]

Решение:
Знаем, че за всяко [tex]k \in [0;99][/tex]: [tex]a_{k+1}=3k+5[/tex] и за всяко [tex]l[/tex] в същия интервал, [tex]b_l=4l+3[/tex]. Търсим колко често [tex]a_{k+1}=b_{l+1}[/tex] за всеки две k,l в дадения интервал. Това е еквивалентно на
[tex]3k+5=4l+3[/tex]
[tex]4l=3k+2[/tex]
[tex]l=\frac{3k+2}{4}[/tex]. Сега знаем l като функция на k. За дадените стойности, [tex]l=\frac{3k+2}{4} \le \frac{3.99+2}{4}<75[/tex], което са допустими стойности за l. l е цяло число, следователно трябва и [tex]\frac{3k+2}{4}[/tex] да е цяло. Следователно търсим стойности на k между 0 и 99, за които [tex]\frac{3k+2}{4}[/tex] е цяло число. Еквивалентно е на: [tex]3k+2 \equiv 0 (mod 4)[/tex]
[tex]3k+2-4k \equiv 0 (mod 4)[/tex]
[tex]2-k \equiv 0 (mod 4)[/tex]
[tex]k \equiv 2 (mod 4)[/tex].
Тези числа образуват редицата [tex]2,6,10,...,98[/tex], а техният брой е 25.

Решение:
Нека означим [tex]C=\frac{a_{2n}+a_{2n-1}+...+a_{n+1}}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}[/tex]. Добавяйки [tex]1[/tex] към двете страни на равенството, получаваме
[tex]C+1=\frac{a_{2n}+a_{2n-1}+...+a_{n+1}}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}+\frac{a_n+a_{n-1}+...+a_1}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}=\frac{a_{2n}+a_{2n-1}+...+a_1}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}=\frac{S_{2n}}{S_n}[/tex]. Тъй като [tex]C[/tex] е константа, [tex]C+1[/tex] също е константа. Следователно, [tex]\frac{S_{2n}}{S_n}[/tex] не трябва да заивис от n. Но
[tex]\frac{S_{2n}}{S_n}=\frac{\frac{2a_1+(2n-1).d}{2}.2n}{\frac{2a_1+(n-1).d}{2}n}=2\frac{2+(2n-1)d}{2+(n-1)d}[/tex].
Нека означим [tex]\frac{C+1}{2}=R[/tex], което също не зависи от n. Имаме
[tex]\frac{2+(2n-1)d}{2+(n-1)d}=R[/tex]
[tex]2R+(n-1).d.R=2+(2n-1).d[/tex]
[tex]2R+n.d.R-d.R=2+2n.d-d[/tex]
[tex]n.d(R-2)=d.R-2R-d+2=R(d-2)-(d-2)=(R-1)(d-2)[/tex]. Това трябва да е вярно равенство за всяко n. Нека предположим, че двете страни са ненулвеи. Тогава лявата страна се изменя, когато [tex]n[/tex] се изменя, докато дясната остава постоянна, при което има случаи, в които те няма да са равни. Следователно трябва и двете страни да са нулеви. [tex]n[/tex] и [tex]d[/tex] не са нулеви (тъй като [tex]\{a_n\}[/tex] е неконстантна аритметична прогресия), така че лявата страна да е 0, R трябва да бъде 2. Което води до
[tex]0=1.(d-2)[/tex], което означава че [tex]d[/tex] също е 2. Сега аритметичната прогресия е напълно определена, с [tex]a_1=1[/tex], [tex]d=2[/tex] и [tex]a_{15}=a_1+14\cdot d=1+14\cdot 2=29[/tex]