Интегриране на трансцедентни функции

7.1 Интеграли от тригонометрични функции

7.1.1 Универсална субституция

1. Интегралите от вида

$F(x) = \int R (\sin x, \cos x) \ dx$

където R е рационална функция, се рационализират във всички случаи с полагането

$t = \tan \frac{x}{2}$

при което имаме

$dx=\frac{2dt}{1+t^2}$, $\sin x=\frac{2t}{1 + t^2}$, $\cos x=\frac{1-t^2}{1 + t^2}$

т.е.

$F(x)=2\int R(\frac{2t}{1 + t^2}, \frac{1-t^2}{1 + t^2}) \frac{dt}{1+t^2}$.

Пример 37

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1 + \sin x}{1 - \cos x} dx &=& \int \frac{1 + \frac{2t}{1 + t^2}}{1 - \frac{1 - t^2}{1 + t^2}} \ \frac{2dt}{1 + t^2} = \int \frac{1 + 2t + t^2}{t^2(1 + t^2)} dt \\ &=& \int (\frac{2}{t} + \frac{1}{t^2} - \frac{2t}{1 + t^2}) dt = 2 \ln |t| - \frac{1}{t} - \ln (1 + t^2) \\ &=& \ln \frac{t^2}{1 + t^2} - \frac{1}{t} = \ln \sin^2 \frac{x}{2} - \cot \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$

Горното полагане се нарича още универсална субституция, което е в чест на факта, че тя винаги решава задачата. За съжаление тази субституция обикновено води до рационални изрази относно t, в които знаменателят е от висока степен. Изобщо, универсалната субституция е „тежката артилерия" при интегрирането на рационални изрази от тригонометрични функции, която естествено не винаги е ефективна (например когато целта е малка).

7.1.2 Други субституции

В следните три случая съществуват по-ефективни способи (в сравнение с универсалната субституция) да се рационализира интегралът, а именно:

1. Ако

R(u, -v) = -R(u,v)

то подходящото полагане е

sin x = t.

Действително, в този случай имаме

$dx = \frac{dt}{\cos x}$

и

$\int R (\sin x, \cos x) \ dx = \int R_1 (\sin x, \cos x) \ dt$

където

$R_1(u,v) = \frac{R(u,v)}{v}$

Тъй като R₁(u, -v) = R₁(u,v), то изразът R₁(sin x, cos x) съдържа само четни степени на cos x и се изразява рационално чрез sin x:

R₁ (sin x, cos x) = R₂(sin x).

Окончателно получаваме $\int R (\sin x, \cos x) \ dx = \int R_1 (\sin x, \cos x) \cos x \ dx = \int R_1 (\sin x, \cos x) d \sin x = \int R_2 (t) \ dt$

което доказва, че интегралът се рационализира.

Пример 38 В интеграла

$F(x) = \int \sin^2 x \cos^3 x dx$

полагаме t = sin x, dt = cos x dx и получаваме

$F(x) = \int \sin^2 x (1 - \sin^2 x) \cos x \ dx = \int t^2(1 - t^2) \ dt = \frac{t^3}{3} - \frac{t^5}{5} = \frac{ \sin^3 x}{3} - \frac{ \sin^5 x}{5}$

2. Ако

R(-u,v) = -R(u,v)

полагането

cos x = t

решава ефективно задачата. Доказателството е както в случая 1.

Пример 39 Да разгледаме интеграла

$F(x) = \int \frac{\sin x}{\cos^3 x} dx$

След полагане t = cos x, dt = -sin x dx получаваме

$F(x) = - \int \frac{dt}{t^3} = \frac{1}{2t^2} = \frac{1}{2 \cos^2 x}$

3. R(-u, -v) = R(u, v)

то икономичната субституция е

tan x = t

Действително, тук от равенствата

R(- sin x, - cos x) = R(sin x, cos x) = R(t cos x, cos x)

следва, че cos x участва в подинтегралния израз в четни степени и поради това се изразява рационално чрез t предвид на зависимостта

$\cos^2 = \frac{1}{1 + t^2}$

Следователно

R(sin x, cos x) = R₁(t)

и тъи като

$dx = \frac{dt}{1 + t^2}$

то интегралът се рационализира:

$\int R(\sin x, \cos x) dx = \int \frac{R_1(t) \ dt}{1 + t^2}$

Пример 40 В интеграла

$F(x) = \int \frac{dx}{\cos^4 x}$

полагаме t = tan x. Оттук х = arctant и

$\cos^2 x = \frac{1}{1 + t^2}, \ dx = \frac{dt}{1 + t^2}$

Следователно

$F(x) = \int (1 + t^2) dt = t + \frac{t^3}{3} = \tan x + \frac{\tan^3 x}{3}$

Наред c полагането t = tan x ce използва и полагането

t = cos 2x.

4. Възможно е след рационализирането на даден интеграл (с непрекъсната и ограничена в някакъв интервал подинтегрална функция) и решаването му чрез изложената по-горе техника да получим първоначално функция, която не е определена в някои точки. Тук е необходимо да да определим функцията като непрекъсната предвид известното свойство на примитивната (за повече подробности вж. [8]).

Така например след прилагане на универсалната субституция първоначално се получава примитивна F* не на самата подинтегрална функция, а на нейните свивания в интервалите ((2n - 1)$\pi$, (2n + 1)$\pi$), където n е цяло, тъй като функцията $x \rightarrow \tan \frac{x}{2}$ има точки на прекъсване х = (2k + 1)$\pi$, k = 0,±1,±2,.... В този случай за примитивната F можем да напишем

F(x) = F*(x) + C_n, х ∈ ((2n - 1)$\pi$, (2n + 1)$\pi$)

където константите С_n се определят от условието за непрекъснатост на F в точките $x = (2k+ 1)\pi$:

$F((2k + 1)\pi - 0) = F((2k + 1) + 0)$

т.е.

$C_{k+1} = C_k + \Delta F^*$

$\Delta F^* = F^*((2k + 1)\pi + 0) - F^*((2k + l)\pi-0)$.

7.1.3 Някои полезни преобразувания

1. Ако подинтегралната функция е рационална относно

sin mx, соs nx, tan px, cot qx

където m, n, р, q ca цели числа, то преминаваме към рационална функция относно sin x, cos х посредством известните формули

$\begin{eqnarray*} \sin mx &=& {m \choose 1} \cos^{m-1} \sin x - {m \choose 3} \cos^{m-3} \sin^3 x + {m \choose 5} \cos^{m-5} \sin^5 x - ... \\ \cos mx &=& \cos^m x - {m \choose 2} \cos^{m-2} \sin^2 x + {m \choose 4} \cos^{m-4} \sin^4 x - ... \end{eqnarray*}$

Ако числата m, n,p, q ca дробни, първо ги привеждаме към общ знаменател:

$m = \frac{m_1}{s}, \ n = \frac{n_1}{s}, \ p = \frac{p_1}{s}, \ q = \frac{q_1}{s}$

и после полагаме

$y = \frac{x}{s}$

Пример 41 В интеграла

$F(x) = \int \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{3}} dx$

полагаме у = х/6, dx = 6dy. Оттук

$F(x) = 6 \int \frac{\cos 3y}{\sin 2y} dy = 6 \int \frac{\cos^3y - 3\cos y \sin^2 y}{2 \sin y \cos y} dy$

$= 3 \int \frac{\cos^2 y}{\sin y} dy - 9 \int \sin y dy = 3 \int \frac{1 - \sin^2 y}{\sin y} dy - 9 \int \sin y dy$

$= 3 \int \frac{dy}{\sin y} - 12 \int \sin y dy = 3 \ln |\tan \frac{y}{2}| + 12 \cos y = 3 \ln |\tan \frac{x}{12}| + 12 \cos \frac{x}{6}$

2. Ако в подинтегралната функция се срещат произведения от типа sin cos, cos cos или sin sin, то те се преобразуват no формулите

$\sin mx \cos nx = \frac{1}{2}(\sin(m-n)x + \sin(m+n)x)$

$\cos mx \cos nx = \frac{1}{2}(\cos(m-n)x + \cos(m+n)x)$

$\sin mx \sin nx = \frac{1}{2}(\cos(m-n)x - \cos(m+n)x)$

По-общо, всеки израз

cos(a₁x + b₁) cos(a₂x + b₂) ⋅⋅⋅ cos(a_kx + b_k)

c помощта на последователно прилагане на формулата

$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta))$

ce свежда до сума от членове от вида

A_icos(B_ix + C_i).

3. Интегралите от вида

$\int \sin^mx \cos^nx\ dx$

където m и n са цели, се рационализират чрез полагането t = sin x, ако n е нечетно и t = соs x, ако m е нечетно (вж. т. 1 и 2 от раздел 8.1.2). Ако числата m и n са положителни и четни, може да се окаже полезно подинтегралната функция да се изрази чрез функции на кратни ъгли.

Използват се и полаганията t = sin x или t = cos x
m + n е нечетно число, и t = tan x или t = cos 2x, ако m + n е четно.

Пример 42 В интеграла

$F(x) = \int \sin^3 x \ dx = \int (1 - \cos^2 x) \sin x \ dx$

полагаме

t = cos x, - sin x dx = dt

откъдето

$F(x) = - \int (1 - t^2) \ dt = -t + \frac{t^3}{3} = - \cos x + \cos^3 \ \frac{x}{3}$

Пример 43

$\int \sin^2 x \ \cos^2 x \ dx = \frac{1}{4} \int 4 \sin^2 x \ \cos^2 x \ dx = \frac{1}{4} \int \sin^2 2x \ dx = \frac{1}{4} \int (1 - \cos \frac{4x}{2}) \ dx = \frac{x}{8} - \sin \frac{2x}{32}$

Използват се и следните рекурентни формули, които се проверяват чрез непосредствено диференциране

$\int \sin^m x \ \cos^n x \ dx = (\frac{\cos^{n - 1} x \sin^{m + 1} x}{m + n}) + (\frac{n - 1}{m + n}) \int \sin^m x \ \cos^{n - 2} x \ dx = - (\frac{\cos^{n + 1} x \sin^{m - 1} x}{m + n}) + (\frac{m - 1}{m + n}) \int \sin^{m - 2} x \ \cos^n x \ dx$

$\int \frac{dx}{\sin^m x \ \cos^n x} = \frac{1}{ (n - 1) \sin^{m - 1} x \ \cos^{n - 1} x} + \frac{m + n - 2}{n - 1} \int \frac{dx}{\sin^m x \ \cos^{n - 2} x}$

$\frac{1}{ (m - 1) \sin^{m - 1} x \ \cos^{n - 1} x} + \frac{m + n - 2}{m - 1} \int \frac{dx}{\sin^{m - 2} x \ \cos^n x}$

$\int \frac{\cos^n x}{\sin^m x} \ dx - \frac{ \cos^{n + 1} x}{ (m - 1) \sin^{m - 1} x} - \frac{n - m + 2}{m - 1} \int \frac{\cos^n x}{\sin^{m - 2} x} \ dx$

$\frac{ \cos^{n - 1} x}{ (n - m) \sin^{m - 1} x} + \frac{n - 1}{n - m} \int \frac{\cos^{n - 2} x}{\sin^m x} \ dx$

(в последния случай се предполага, че m ≠ n. Случаят m = n е разгледан в пример 16 и упражнение 1 от раздел 5.7)

Последователното прилагане на горните формули води до някой от табличните интеграли.

7.2 Интеграли от показателни функции

Интегралите

$\int R(e^x)\ dx$

се решават с полагането

$t = e^x, \ dx = \frac{dt}{t}.$

Същото полагане върши работа и при интеграли от вида

$F(x) = \int R (\sinh x, \cosh x) \ dx$

Тук, обаче, може да се използва и хиперболичният аналог на универсалната субституция при интегралите от тригонометрични функции:

$t = \tanh \frac{x}{2}$

при което

$\sinh x = \frac{2t}{1 - t^2}, \ \cosh x = \frac{1 + t^2}{1 - t^2}, \ dx = \frac{2dt}{1 - t^2}$

$F(x) = 2 \int R (\frac{2t}{1 - t^2}, \frac{1 + t^2}{1 - t^2}) \frac{dt}{1 - t^2}$

Пример 44 В интеграла

$F(x) = \int \frac{1 + e^x}{1 + 2e^{-x}} \ dx$

полагаме $t = e^x, \ dx = \frac{dt}{t}.$ и получаваме

$F(x) = \int \frac{1 + t}{2 + t} dt = \int \frac{2 + t - 1}{2+ t} \ dt = t - \ln (2 + t) = e^x - \ln (2 + e^x)$

7.3 Интеграли от тригонометрични и показателни функции

Интегралите

$F(x) = \int e^{ax}P (\sin x, \cos x) dx$

където Р е полином, се свеждат до сума от интеграли от вида

$\int e^{ax} \sin^mx \cos^nx \ dx$

където m и n са натурални числа. Тук първо произведението sin^m х cosⁿ x ce представя като сума от синуси и косинуси на кратни ъгли, след което получаваме интеграли от вида

$\int e^{ax} \sin bx \ dx, \ \int e^{ax} \cos bx \ dx$

които вече разгледахме в пример 12.

7.4 Интеграли от тригонометрични и степенни функции

1. Интегралите

$\int P(x, \sin bx, \cos bx) \ dx$

където Р е полином, се свеждат до интеграли от вида

$\int x^m \cos bx \ dx, \ \int x^m \sin bx \ dx$

Те на свой ред могат да се решат рекурентно чрез последователно интегриране по части, като тригонометричните функции се вкарват под знака на диференциала.

Използуват се и формулите

$\begin{eqnarray*} \int Q(x) \cos bx dx &=& \frac{\sin bx}{b} S(x) + \frac{\cos bx}{b} T(x) \\ \int Q(x) \sin bx dx &=& \frac{\sin bx}{b} T(x) + \frac{\cos bx}{b} S(x) \end{eqnarray*}$

където

$\begin{eqnarray*} S(x) &=& Q(x) - \frac{Q''(x)}{b^2} + \frac{Q''''(x)}{b^4} - ... \\ T(x) &=& \frac{Q'(x)}{a} - \frac{Q'''(x)}{b^3} + \frac{Q'''''(x)}{b^5} - ... \end{eqnarray*}$

2. Ако R e рационална функция, различна от полином, интегралите

$\int R(x) \ \sin x \ dx, \ \int R(x) \ \cos x \ dx$

не се изразяват чрез елементарни функции. Така например, ако алгебричната дроб R(x) ce разлага в сума от елементарни дроби от първи тип, то след няколкократно интегриране по части интегралът се представя чрез елементарни функции и чрез някои от следните интеграли,

$\int \ \frac{\sin x}{x} \ dx, \ \int \frac{\cos x}{x} \ dx$

които не се изразяват в елементарни функции (вж. пример 4).

7.5 Интеграли от тригонометрични, показателни и степенни функции

1. Интегралите

$\int P(x, e^{ax}, \sin bx, \cos bx) \ dx$

където Р е полином, се свеждат до интеграли от вида

$C_m(x) = \int x^m e^{ax} \cos bx \ dx$
$S_m(x) = \int x^m e^{ax} \sin bx \ dx$

След интегриране по части с вкарване на експонентата под знака на диференциала, получаваме

$\begin{eqnarray*} C_m(x) &=& \frac{x^m e^{ax} \cos bx}{a} - \frac{m}{a} C_{m-1}(x) + \frac{b}{a} S_m(x) \\ S_m(x) &=& \frac{x^m e^{ax} \sin bx}{a} - \frac{m}{a} S_{m-1}(x) - \frac{b}{a} C_m(x) \end{eqnarray*}$

От тази система определяме С_m и S_m:

$C_m(x) = \frac{x^m \ e^{ax} \ (a \cos bx + b \sin bx)}{a^2 + b^2} - \frac{m}{a^2 + b^2} (a C_{m-1}(x) + b S_{m-1}(x))$

$S_m(x) = \frac{x^m \ e^{ax} \ (a \sin bx - b \cos bx)}{a^2 + b^2} + \frac{m}{a^2 + b^2} (b C_{m-1}(x) - a S_{m-1}(x))$

като отчитаме факта, че C₀(x) и S₀(x) ca всъщност изразите С(х) и S(x) от пример 12.

2.  Ако Q е полином, то се използва формулата

$\int Q(x) \ e^{ax} dx = \frac{e^{ax}}{a} (Q(x) - \frac{Q'(x)}{a} + \frac{Q''(x)}{a^2} - \frac{Q'''(x)}{a^3} + ...)$

3.   Ако R e рационална функция, различна от полином, то интегралът

$\int R(x)e^{ax}\ dx$

не се изразява в елементарни функции. Ако R(x) ce разлага в сума от елементарни дроби от първи тип, то след последователно интегриране по части интегралът се представя като сума от елементарни функции и интеграл от типа

$\int \frac{e^x}{x} \ dx$

(вж. пример 4). При интеграли от този тип се използва и рекурентната формула

$\int \frac{e^{ax}}{x^m} = \frac{1}{m-1} (-\frac{e^{ax}}{x^{m-1}} + a \int \frac{e^{ax}}{x^{m-1}} dx)$

7.6 Други интеграли

1. Интегралите

$\int P(x, arc \sin x) dx$

където Р е полином, се рационализират чрез полагането

t = arcsin x.

Аналогично, интегралите

$\int P(x, \ln x) dx$

се рационализират като се положи

t = lnx.

2. Интегралите

$\int R(x, \sqrt{ax^2 + bx +c}) g(x) \ dx$

могат да се рационализират чрез интегриране по части, ако примитивната на R и производната на g се окажат рационални функции на аргументите х и у $= \sqrt{ax^2 + bx +c}$ Такива са

например интегралите

$\int R(x, \sqrt{1 - x^2}) arc \sin x \ dx \\ \int R(x, \sqrt{ax^2 + bx +c}) arc \tan x \ dx \\ \int R(x, \sqrt{ax^2 + bx +c}) \ln x \ dx$

3. Интегралите

$\int R(\ln x) x^m \ dx$

и

$\int R(arc \sin x) x^m \ dx$

чрез полаганията

t = lnx

и

t = arcsin x

ce свеждат до вече разгледаните в раздели 8.1-8.5.

7.7 Упражнения

1. Пресметнете интегралите

$\int \frac{dx}{\sin^n x + \cos^n x}$

за n = 3,4,5,6 чрез стандартните субституции. Опитайте да решите интегралите и с хитрост, например като използвате тъждеството sin ²x + cos² x = 1.

2.  Докажете зависимостите от т. 1 на раздел 8.4.

3.  Докажете зависимостта от т. 2 на раздел 8.5.

4.   Развийте рекурентната формула от т. 3 на раздел 8.5 така, че в дясната страна да остане единствено интеграла

$\int \frac{e^{ax}}{x} \ dx$

5. Решете интеграла

$\int \frac{dx}{1 + 0.1 \cos x}$

с помощта на универсалната субституция $t = \tan \frac{x}{2}$. Първоначално ще получите примитивна само за интервалите ((2n - 1)$\pi$, (2n + 1)$\pi$). Намерете примитивната върху цялата числова ос като използвате техниката, скицирана в т. 4 на раздел 8.1.2.

Авторът на math10.com благодари на проф. Константинов за разрешението да публикува учебника: "Интеграли" на страниците на сайта