Хиперболични функции - sh, ch, th, cth

Дефиниции за хиперболични функции

Синус хиперболичен от x
$\text{sh}\ x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$

Косинус хиперболичен от x
$\text{ch}\ x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

Тангенс хиперболичен от x
$\text{th}\ x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

Котангенс хиперболичен от x
$\text{cth}\ x = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$

Секант хиперболичен от x
$\text{sech}\ x = \frac{2}{e^x + e^{-x}}$

Косекант хиперболичен от x
$\text{csch}\ x = \frac{2}{e^x - e^{-x}}$

Връзки между хиперболичните функции

$\text{th}\ x = \frac{\text{sh}\ x}{\text{ch}\ x}$

$\text{cth}\ x = \frac{1}{\text{th}\ x} = \frac{\text{ch}\ x}{\text{sh}\ x}$

$\text{sech}\ x = \frac{1}{\text{ch}\ x}$

$\text{csch}\ x = \frac{1}{\text{sh}\ x}$

$\text{ch}^2x - \text{sh}^2x = 1$

$\text{sech}^2x + \text{th}^2x = 1$

$\text{cth}^2x - \text{csch}^2x = 1$

Отрицателени аргументи

sh(-x) = -sh x

ch(-x) = -ch x

th(-x) = -th x

csch(-x) = -csch x

sech(-x) = -sech x

cth(-x) = -cth x

Формули за сбор

sh (x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y

ch (x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y

th(x ± y) = (th x ± th y)/(1 ± th x.th y)

cth(x ± y) = (cth x cth y ± l)/(cth y ± cth x)

Формули за двоен ъгъл

sh 2x = 2 sh x ch x

ch 2x = ch²x + sh²x = 2 ch²x — 1 = 1 + 2 sh²x

th 2x = (2th x)/(1 + th²x)

Формули за половин ъгъл

$\text{sh} \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{\text{ch} x - 1}{2}}$ [+ ако x > 0, - ако x < 0]

$\text{ch} \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{\text{ch} x + 1}{2}}$

$\text{th} \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{\text{ch} x - 1}{\text{ch} x + 1}}$ [+ ако x > 0, - ако x < 0]

$=\frac{sh x}{ch x - 1} = \frac{ch x + 1}{sh x}$

Формули за 3 и 4 пъти ъгъл

sh 3x = 3 sh x + 4 sh³ x

ch 3x = 4 ch³ x — 3 ch x

th 3x = (3 th x + th³ x)/(1 + 3 th²x)

sh 4x = 8 sh³ x ch x + 4 sh x ch x

ch 4x = 8 ch⁴ x — 8 ch² x + 1

th 4x = (4 th x + 4 th³ x)/(1 + 6 th² x + th⁴ x)

Формули за сваляне на степента на хиперболичните функции

sh² x = ½ch 2x — ½

ch² x = ½ch 2x + ½

sh³ x = ¼sh 3x — ¾sh x

ch³ x = ¼ch 3x + ¾ch x

sh⁴ x = 3/8 - ½ch 2x + 1/8ch 4x

ch⁴ x = 3/8 + ½ch 2x + 1/8ch 4x

Формули за сума, разлика и произведение на хиперболични функции

sh x + sh y = 2 sh ½(x + y) ch ½(x - y)

sh x - sh y = 2 ch ½(x + y) sh ½(x - y)

ch x + ch y = 2 ch ½(x + y) ch ½(x - y)

ch x - ch y = 2 sh ½(x + y) sh ½(x — y)

sh x sh y = ½(ch (x + y) - ch (x - y))

ch x ch y = ½(ch (x + y) + ch (x — y))

sh x ch y = ½(sh (x + y) + sh (x - y))

Изразяване на хиперболичните функции чрез хиперболични функции

При x > 0(При x < 0 използваме формулите за отрицателен ъгъл) имаме:

~	$sh x = u$	$ch x = u$	$th x = u$	$cth x = u$	$sech x = u$	$esch x = u$
$sh x$	$u$	$\sqrt{u^2 - 1}$	$\frac{u}{\sqrt{1 - u^2}}$	$\frac{1}{\sqrt{u^2 - 1}}$	$\frac{\sqrt{1 - u^2}}{u}$	$\frac{1}{u}$
$ch x$	$\sqrt{1 + u^2}$	$u$	$\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$	$\frac{u}{\sqrt{u^2 - 1}}$	$\frac{1}{u}$	$\frac{\sqrt{1 + u^2}}{u}$
$th x$	$\frac{u}{\sqrt{1 + u^2}}$	$\frac{\sqrt{u^2 - 1}}{u}$	$u$	$\frac{1}{u}$	$\sqrt{1 - u^2}$	$\frac{1}{\sqrt{1 + u^2}}$
$cth x$	$\frac{\sqrt{1 + u^2}}{u}$	$\frac{u}{\sqrt{u^2 - 1}}$	$\frac{1}{u}$	$u$	$\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$	$\sqrt{1 + u^2}$
$sech x$	$\frac{1}{\sqrt{1 + u^2}}$	$\frac{1}{u}$	$\sqrt{1 - u^2}$	$\frac{\sqrt{u^2 - 1}}{u}$	$u$	$\frac{u}{\sqrt{1 + u^2}}$
$esch x$	$\frac{1}{u}$	$\frac{1}{\sqrt{u^2 - 1}}$	$\frac{\sqrt{1 - u^2}}{u}$	$\sqrt{u^2 - 1}$	$\frac{u}{\sqrt{1 - u^2}}$	$u$

Графики на хиперболичните функции

y = sh x

y = ch x

y = th x

y = cth x

y = sech x

y = csch x

Обратни хиперболични функции

Ако x = sh y, то y = sh^-1 се нарича обратен хиперболичен синус от x. По аналогичен начин дефинираме другите обратни хиперболични функции. Обратните хиперболични функции имат много стойности и както и при обратните тригонометрични функции ги ограничаваме така, че да са равни на една стойност.

По-долу изразяваме обратните хиперболични функции с логаритмични функции, които приемат реално стойности.

$\text{sh}^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ $-\infty < x < \infty$

$\text{ch}^{-1} x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$ $x \geq l$ $[\text{ch}^{-1} x > 0]$

$\text{th}^{-1} x = \frac{1}{2} \ln\frac{(1 + x)}{(1 - x)}$ $- 1 < x < 1$

$\text{cth}^{-1} x = \frac{1}{2} \ln\frac{(x + 1)}{(x - 1)}$ $x > 1$ или $x < -1$

$sech^{-1} x = \ln(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1})$ $0 < x \leq l$ $[sech^{-1} x > 0]$

$csch^{-1} x = \ln(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1})$ $x \neq 0$

Зависимости на обратните хиперболични функции

csch^-1 x = sh^-1 (1/x)

sech^-1 x = ch^-1 (1/x)

cth^-1 x = th^-1 (1/x)

sh^-1(-x) = -sh^-1x

th^-1(-x) = -th^-1x

cth^-1 (-x) = -cth^-1x

csch^-1 (-x) = -csch^-1x

Графики на обратните хиперболични функции

y = sh^-1x

y = ch^-1x

y = th^-1x

y = cth^-1x

y = sech^-1x

y = csch^-1x

Връзка между тригонометричните и хиперболичните функции

sin(ix) = i sh x	cos(ix) = ch x	tg(ix) = i th x
csc(ix) = -i csch x	sec(ix) = sech x	cotg(ix) = -i cth x
sh(ix) = i sin x	ch(ix) = cos x	th(ix) = i tg x
csch(ix) = -i csc x	sech(ix) = sec x	cth(ix) = -i cotg x

Период на хиперболичните функции

Във формулите k е произволно цяло число.

sh (x + 2kπi) = sh x csch (x + 2kπi) = csch x

ch (x + 2kπi) = ch x sech (x + 2kπi) = sech x

th (x + kπi) = th x cth (x + kπi) = cth x

Връзка между обратните хиперболични и обратните тригонометрични функции

sin^-1 (ix) = ish^-1x	sh^-1(ix) = i sin^-1x
cos^-1 x = ±i ch^-1 x	ch^-1x = ±i cos^-1x
tg^-1(ix) = i th^-1x	th^-1(ix) = i tg^-1x
cotg^-1(ix) = -i cth^-1x	cth^-1 (ix) = -i cotg^-1x
sec^-1 x = ±i sech^-1x	sech^-1 x = ±i sec^-1x
csc^-1(ix) = -i csch^-1x	csch^-1(ix) = -i csc^-1x

Хиперболични функции във форума

Форум за висша математика