МенюРешаване на системи линейни уравнения
Автор: Каталин Дейвид
Общата форма е:
$ \begin{cases} a_{1,1}\cdot x_{1} + a_{1,2}\cdot x_{2} + a_{1,3}\cdot x_{3} + \cdots a_{1,n} \cdot x_{n} =b_{1} \\ a_{2,1}\cdot x_{1} + a_{2,2}\cdot x_{2}+ a_{2,3}\cdot x_{3} + \cdots + a_{2,n}\cdot x_{n} = b_{2} \\ a_{3,1}\cdot x_{1} + a_{3,2}\cdot x_{2}+a_{3,3}\cdot x_{3}+ \cdots + a_{3,n}\cdot x_{n}=b_{3} \\ \cdots\\ a_{m,1}\cdot x_{1}+ a_{m,2}\cdot x_{2}+a_{m,3}\cdot x_{3}+\cdots + a_{m,n}\cdot x_{n} =b_{n} \end{cases}$
$a_{1,1}, a{1,2} \cdots a_{m,n}$ са коефициенти, а $b_{1}, b_{2},b_{3} \cdots b_{n}$ са свободни членове.
$ A= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n} \\ \cdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & . & . & a_{m,n} \end{pmatrix}$ е матрицата, която се асоциира със системата.
Ако свободните членове са 0, системата е хомогенна.
Асоциираната матрица е квадратна (m=n)
Изчисляваме детерминантата на асоциираната матрица.
$\Delta = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n} \\ \cdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & a_{n,n} \end{vmatrix}$
Детерминантата на асоциираната матрица не е 0
Системата се нарича съвместна ако има едно решение. За да определим решението на системата, използваме формулите на Крамер.
Изчисляваме $ \Delta_{x_{1}}$, детерминантата, получена чрез заместване на колоната, съдържаща коефициентите на съответната променлива $x_{1}$, с колоната на свободните членове.
$\Delta_{x_{1}}=
\begin{vmatrix}
b_{1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n} \\
b_{2} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n} \\
b_{3} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n} \\
\cdots \\
b_{n} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & a_{n,n}
\end{vmatrix}$
Получаваме $ x_{1} = \dfrac{\Delta_{x_{1}}}{\Delta}$
Изчисляваме $ \Delta_{x_{2}}$, детерминантата, получена чрез заместване на колоната, съдържаща коефициентите на съответната променлива $x_{2}$, с колоната на свободните членове.
$\Delta_{x_{2}}=
\begin{vmatrix}
a_{1,1} & b_{1} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n} \\
a_{2,1} & b_{2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n} \\
a_{3,1} & b_{3} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n} \\
\cdots \\
a_{n,1} & b_{n} & a_{n,3} & . & . & a_{n,n}
\end{vmatrix}$
Получаваме $ x_{2} = \dfrac{\Delta_{x_{2}}}{\Delta}$
Изчисляваме $ \Delta_{x_{3}}$, детерминантата, получена чрез заместване на колоната, съдържаща коефициентите на съответната променлива $x_{3}$, с колоната на свободните членове.
$\Delta_{x_{3}}=
\begin{vmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & b_{1} & . & . & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & b_{2} & . & . & a_{2,n} \\
a_{3,1} & a_{3,2} & b_{3} & . & . & a_{3,n} \\
\cdots \\
a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n} & . & . & a_{n,n}
\end{vmatrix}$
Получаваме $ x_{3} = \dfrac{\Delta_{x_{3}}}{\Delta}$
Правим това за останалите променливи до последната, след което записваме решението на системата.
$x_{n}=\dfrac{\Delta_{x_{n}}}{\Delta}$
Пример 53
$\begin{cases}
2\cdot x + 3\cdot y -5\cdot z = \color{red}{-7}\\
-3 \cdot x + 2\cdot y + z = \color{red}{-9}\\
4\cdot x - y + 2\cdot z = \color{red}{17}
\end{cases}$
Матрицата, асоциирана със системата е
$ \begin{pmatrix}
2 & 3 & -5\\
-3 & 2 & 1\\
4 & -1 & 2
\end{pmatrix}$
Изчисляваме детерминантата на матрицата и получаваме $\Delta = 8 -15 + 12 +40 +2 + 18 = 65$
Изчисляваме $ \Delta_{x}=
\begin{vmatrix}
\color{red}{-7} & 3 & -5\\
\color{red}{-9} & 2 & 1\\
\color{red}{17} & -1 & 2
\end{vmatrix}= -28 - 45 + 51 + 170 - 7 +54 = 195$
Изчисляваме $ \Delta_{y}= \begin{vmatrix} 2 & \color{red}{-7} & -5\\ -3 & \color{red}{-9} & 1\\ 4 & \color{red}{17} & 2 \end{vmatrix}=-36 + 255 -28 -180 -34 -42 = -65$
Изчисляваме $ \Delta_{z}= \begin{vmatrix} 2 & 3 &\color{red}{-7}\\ -3 & 2 & \color{red}{-9}\\ 4 & -1 & \color{red}{17} \end{vmatrix}= 68 -21 -108 + 56 -18 + 153 =130$
Решението на системата е:
$x = \dfrac{\Delta_{x}}{\Delta} =\dfrac{195}{65} = 3$
$y = \dfrac{\Delta_{y}}{\Delta} = -\dfrac{65}{65}= -1$
$z = \dfrac{\Delta_{z}}{\Delta} =\dfrac{130}{65}= 2$
Решение: $\{3;-1;2\}$
Пример 54
$\begin{cases}
4\cdot x + 5\cdot y -2\cdot z = \color{red}{3}\\
-2 \cdot x + 3\cdot y - z = \color{red}{-3}\\
-1\cdot x - 2\cdot y + 3\cdot z = \color{red}{-5}
\end{cases}$
Матрицата, която се асоциира със системата е
$ \begin{pmatrix}
4 & 5 & -2\\
-2 & 3 & -1\\
-1 & -2 & 3
\end{pmatrix}$
Изчисляваме детерминантата на матрицата и получаваме $\Delta = 36 -8 + 5 -6 -8 + 30 = 49$
Изчисляваме $ \Delta_{x}= \begin{vmatrix} \color{red}{3} & 5 & -2\\ \color{red}{-3} & 3 &-1\\ \color{red}{-5} & -2 & 3 \end{vmatrix}= 27 - 12 + 25 - 30 - 6 + 45 = 49$
Изчисляваме $ \Delta_{y}= \begin{vmatrix} 4 & \color{red}{3} & -2\\ -2 & \color{red}{-3} & -1\\ -1 & \color{red}{-5} & 3 \end{vmatrix}=-36 -20+ 3 +6 -20 + 18 = -49$
Изчисляваме $ \Delta_{z}= \begin{vmatrix} 4 & 5 & \color{red}{3}\\ -2 & 3 & \color{red}{-3}\\ -1& -2 & \color{red}{-5} \end{vmatrix}= -60 + 12 + 15 + 9 - 24 -50 = - 98$
Решението на системата е:
$x = \dfrac{\Delta_{x}}{\Delta} =\dfrac{49}{49} = 1$
$y = \dfrac{\Delta_{y}}{\Delta} = -\dfrac{-49}{49}= -1$
$z = \dfrac{\Delta_{z}}{\Delta} =\dfrac{-98}{4}= -2$
Решение: $\{1;-1;-2\}$
Ако системата е хомогенна, решението е {0;0;0}, защото детерминантите $\Delta_{x}$,$\Delta_{y}$ и $\Delta_{z}$ са колони от 0, така, че са 0.
Пример 55
$\begin{cases}
2\cdot x + 3\cdot y -5\cdot z = \color{red}{0}\\
-3 \cdot x + 2\cdot y + z = \color{red}{0}\\
4\cdot x - y + 2\cdot z = \color{red}{0}
\end{cases}$
Матрицата, асоциирана със системата, е
$ \begin{pmatrix}
2 & 3 & -5\\
-3 & 2 & 1\\
4 & -1 & 2
\end{pmatrix}$
Изчисляваме детерминантата на матрицата и получаваме $\Delta = 8 -15 + 12 +40 +2 + 18 = 65 $
$\Delta_{x}= \begin{vmatrix} \color{red}{0} & 3 & -5\\ \color{red}{0} & 2 & 1\\ \color{red}{0} & -1 & 2 \end{vmatrix}= 0 $
$\Delta_{y}= \begin{vmatrix} 2 & \color{red}{0} & -5\\ -3 & \color{red}{0} & 1\\ 4 & \color{red}{0} & 2 \end{vmatrix}= 0$
$\Delta_{z}= \begin{vmatrix} 2 & 3 &\color{red}{0}\\ -3 & 2 & \color{red}{0}\\ 4 & -1 & \color{red}{0} \end{vmatrix}= 0$
Решението на системата е:
$x = \dfrac{\Delta_{x}}{\Delta} =\dfrac{0}{65} = 0$
$y = \dfrac{\Delta_{y}}{\Delta} = -\dfrac{0}{65}= 0$
$z = \dfrac{\Delta_{z}}{\Delta} =\dfrac{0}{65}= 0$
Решение: $\{0;0;0\}$
Детерминантата на асоциираната матрица е 0
Изчисляваме ранга на матрицата, асоциирана със системата, и ранга на разширената матрица (първоначалната матрица, към която добавяме колоната на свободните членове).
Имаме следните ситуации:
- Ако ранговете на двете матрици са различни, тогава системата няма решение. Тя е несъвместима система.
- Ако ранговете са равни, тогава системата е съвместна с безкраен брой решения.
За да решим системата, следваме следните стъпки:
- Минорът, отговарящ на ранга, става основен минор.
- Променливите с коефициенти в основния минор стават основни променливи. Другите променливи стават второстепенни, бележат се с други букви и се преместват от другата страна на уравнението.
- Уравненията, съдържащи основния минор, стават основни уравнения.
- Решаваме системата, съставена само от основните уравнения, и определяме решението на системата в зависимост от второстепенните променливи.
- Записваме решението.
Пример 56
$\begin{cases}
2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot z = \color{red}{5}\\
-3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot z = \color{red}{-1}\\
4\cdot x - y + 4\cdot z = \color{red}{3}
\end{cases}$
Матрицата, асоциирана със системата, е:
$\begin{pmatrix}
2 & 3 & 2\\
-3 & 2 & -3\\
4 & -1 & 4
\end{pmatrix}$
Определяме ранга на матрицата.
$ 2\neq 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 2\\ -3 & 2 & -3\\ 4 & -1 & 4 \end{vmatrix}=0 $ (защото има 2 еднакви колони, следователно ранга е 2)
Разширената матрица е:
$\begin{pmatrix}
2 & 3 & 2 & \color{red}{5}\\
-3 & 2 & -3 & \color{red}{-1}\\
4 & -1 & 4 & \color{red}{3}
\end{pmatrix}$
Определяме рангът на разширената матрица.
$ 2\neq 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$
$\begin{vmatrix}
2 & 3 & 2\\
-3 & 2 & -3\\
4 & -1 & 4
\end{vmatrix}=0$
$\begin{vmatrix}
2 & 3 & \color{red}{5}\\
-3 & 2 & \color{red}{-1}\\
4 & -1 & \color{red}{3}
\end{vmatrix}=0 $ (защото има 2 еднакви колони, значи ранга е 2)
Тъй като ранговете са равни, системата е съвместна с безкраен брой решения.
Минорът, отговарящ на ранга, става основен минор.
$ \Delta_{p} =
\begin{vmatrix}
2 & 3\\
-3 & 2
\end{vmatrix}$
Променливите x и y, които имат коефициенти в основния минор, стават основни променливи, а z става второстепенна променлива. Нека $z=\alpha$. Първите две уравнения, в които намираме основния минор, стават основни уравнения. Решаваме системата, образувана от основните уравнения.
$\begin{cases}
2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot \alpha = 5\\
-3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot\alpha = -1\\
\end{cases}=$
$\begin{cases}
2\cdot x + 3\cdot y = 5 - 2\cdot \alpha\\
-3 \cdot x + 2\cdot y = -1 + 3\cdot\alpha\\
\end{cases}$
Умножаваме двете страни на първото уравнение с 3, а второто с 2.
$\begin{cases}
6\cdot x + 9\cdot y = 15 - 6\cdot \alpha\\
-6 \cdot x + 4\cdot y = -2 + 6 \cdot \alpha \\
\end{cases}$
Събираме двете уравнения и получаваме:
$ 13\cdot y = 13 \Rightarrow y = \dfrac{13}{13} = 1$
Умножаваме двете страни на първото уравнение с -2, а второто с 3.
$ \begin{cases}
-4\cdot x - 6\cdot y = -10 + 4\cdot \alpha\\
-9 \cdot x + 6\cdot y = -3 + 9 \cdot \alpha \\
\end{cases}$
Събираме двете уравнения и получаваме:
$ -13\cdot x = 13 \Rightarrow y = \dfrac{13\cdot\alpha -13}{13} = \alpha -1$
Решението на системата е $\{\alpha-1;1;\alpha \}$
Пример 57
$\begin{cases}
2\cdot x + y +5\cdot z = \color{red}{3}\\
3 \cdot x + 2\cdot y +2 \cdot z = \color{red}{1}\\
7\cdot x +y + 12\cdot z = \color{red}{2}
\end{cases}$
Матрицата, асоциирана със системата, е:
$\begin{pmatrix}
2 & 1 & 5\\
3 & 2 & 2\\
7 & 4 & 12
\end{pmatrix}$
Определяме ранга на матрицата.
$ 2\neq 0$
$\begin{vmatrix}
2 & 1\\
3 & 2
\end{vmatrix}= 4 - 3 =1 \neq0$
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 2\\ 7 & 4 & 12 \end{vmatrix}= 48 + 60 + 14 - 70 -16 -36 =0 $ (Следователно, рангът е 2.)
Разширената матрица е:
$\begin{pmatrix}
2 & 1 & 5 & \color{red}{3}\\
3 & 2 & 2 & \color{red}{1}\\
7 & 4 & 12 & \color{red}{2}
\end{pmatrix}$
Определяме ранга на разширената матрица.
$ 2\neq 0$
$\begin{vmatrix}
2 & 1\\
3 & 2
\end{vmatrix}= 4 -3 =1 \neq0$
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 2\\ 7 & 4 & 12 \end{vmatrix}=0$
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & \color{red}{3}\\ 3 & 2 & \color{red}{1}\\ 7 & 4 & \color{red}{2} \end{vmatrix}= 8 + 36 + 7 - 42 -8 -6 = -5\neq 0 $
Рангът на разширената матрица е 3.
Тъй като ранговете на двете матрици са различни, системата няма решения. Тя е несъвместима. Хомогенна система винаги ще бъде съвместна с безкраен брой решения, защото разширената матрица, съдържаща колона от нули, ще има същия ранг като матрицата, асоциирана със системата.
Пример 58
$\begin{cases}
2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot z = \color{red}{0}\\
-3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot z = \color{red}{0}\\
4\cdot x - y + 4\cdot z = \color{red}{0}
\end{cases}$
Матрицата, асоциирана със системата, е:
$\begin{pmatrix}
2 & 3 & 2\\
-3 & 2 & -3\\
4 & -1 & 4
\end{pmatrix}$
Определяме ранга на матрицата.
$ 2\neq 0$
$\begin{vmatrix}
2 & 3\\
-3 & 2
\end{vmatrix}= 4 + 9 = 13 \neq0$
$ \begin{vmatrix} 2 & 3 & 2\\ -3 & 2 & -3\\ 4 & -1 & 4 \end{vmatrix}=0 $ (Тъй като има 2 еднакви колони, ранга е 2.)
Разширената матрица е:
$\begin{pmatrix}
2 & 3 & 2 & \color{red}{0}\\
-3 & 2 & -3 & \color{red}{0}\\
4 & -1 & 4 & \color{red}{0}
\end{pmatrix}$
Определяме ранга на разширената матрица.
$ 2\neq 0$
$\begin{vmatrix}
2 & 3\\
-3 & 2
\end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 2\\ -3 & 2 & -3\\ 4 & -1 & 4 \end{vmatrix}=0$
$ \begin{vmatrix} 2 & 3 & \color{red}{0}\\ -3 & 2 & \color{red}{0}\\ 4 & -1 & \color{red}{0} \end{vmatrix}=0 $ (Матрицата съдържа колона от нули. Следователно, рангът е 2.)
Тъй като ранговете са равни, системата е съвместна с безкраен брой решения. Минорът, отговарящ на ранга, става основен минор.
$\Delta_{p} =
\begin{vmatrix}
2 & 3\\
-3 & 2
\end{vmatrix}$
Променливите x и y, които имат коефициенти в основния минор, стават основни променливи, а z става второстепенна променлива. Нека $z=\alpha$. Първите две уравнения, в които намираме основния минор, стават основни уравнения. Решаваме системата, образувана от основните уравнения.
$\begin{cases}
2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot \alpha = 0\\
-3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot\alpha = 0\\
\end{cases} \Leftrightarrow$
$\begin{cases}
2\cdot x + 3\cdot y = - 2\cdot \alpha\\
-3 \cdot x + 2\cdot y = 3\cdot\alpha\\
\end{cases}$
Умножаваме двете страни на първото уравнение с 3, а второто с 2.
$\begin{cases}
6\cdot x + 9\cdot y = -6\cdot \alpha\\
-6 \cdot x + 4\cdot y = 6 \cdot \alpha \\
\end{cases}$
Събираме двете уравнения и получаваме:
$13\cdot y = 0 \Rightarrow y = \dfrac{0}{13} = 0$
Правим същото, за да намерим $x$. Умножаваме двете страни на първото уравнение с -2, а на второто с 3.
$ \begin{cases}
-4\cdot x - 6\cdot y = 4\cdot \alpha\\
-9 \cdot x + 6\cdot y =9 \cdot \alpha \\
\end{cases}$
Събираме двете уравнения и получаваме:
$ -13\cdot x = 13 \Rightarrow y = \dfrac{13\cdot\alpha}{-13} = -\alpha$
Решението на системата е $ \{-\alpha;0;\alpha \}$
Асоциираната матрица не е квадратна $(m\neq n)$
Изчисляваме ранга на матрицата, асоциирана със системата, и ранга на разширената матрица (първоначалната матрица, към която добавяме колоната на свободните членове).
Имаме следните ситуации:
- Ако ранговете на двете матрици са различни, тогава системата няма решение. Тя е несъвместима система.
- Ако ранговете са равни, тогава системата е съвместна с безкраен брой решения.
За да решим системата, следваме тези стъпки:
- Минорът, отговарящ на ранга, става основен минор.
- Променливите, които имат коефициенти в основния минор, стават основни променливи. Другите променливи стават второстепенни, бележат се с други букви и се преместват от другата страна на уравнението.
- Уравненията, съдържащи основния минор, стават основни уравнения.
- Решаваме системата, съставена само от основните уравнения, и определяме решението на системата в зависимост от второстепенните променливи.
- Записваме решението.
Пример 59
$\begin{cases}
2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot z = \color{red}{5}\\
-3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot z = \color{red}{-1}\\
\end{cases}$
Матрицата, асоциирана със системата, е:
$\begin{pmatrix}
2 & 3 & 2\\
-3 & 2 & -3\\
\end{pmatrix}$
Определяме ранга на матрицата.
$ 2\neq 0$
$\begin{vmatrix}
2 & 3\\
-3 & 2
\end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$ (Рангът е 2.)
Разширената матрица е:
$\begin{pmatrix}
2 & 3 & 2 & \color{red}{5}\\
-3 & 2 & -3 & \color{red}{-1}\\
\end{pmatrix}$
Определяме ранга на разширената матрица.
$ 2\neq 0$
$\begin{vmatrix}
2 & 3\\
-3 & 2
\end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$ (Рангът е също 2)
Тъй като ранговете са равни, системата е съвместна с безкраен брой решения. Минорът, отговарящ на ранга, става основен минор.
$ \Delta_{p} = \begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}$
Променливите x и y, които имат коефициенти в основния минор, стават основни променливи, а z става второстепенна променлива. Нека $z=\alpha$. Първите две уравнения, в които намираме основния минор, стават основни уравнения. Решаваме системата, образувана от основните уравнения.
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot \alpha = 5\\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot\alpha = -1\\ \end{cases}\Leftrightarrow$ $\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y = 5 - 2\cdot \alpha\\ -3 \cdot x + 2\cdot y = -1 + 3\cdot\alpha\\ \end{cases}$
Умножаваме двете страни на първото уравнение с 3, а второто с 2.
$\begin{cases}
6\cdot x + 9\cdot y = 15 - 6\cdot \alpha\\
-6 \cdot x + 4\cdot y = -2 + 6 \cdot \alpha \\
\end{cases}$
Събираме двете уравнения и получаваме:
$ 13\cdot y = 13 \Rightarrow y = \dfrac{13}{13} = 1$
Правим същото, за да намерим x. Умножаваме двете страни на първото уравнение с -2, а второто с 3.
$ \begin{cases}
-4\cdot x - 6\cdot y = -10 + 4\cdot \alpha\\
-9 \cdot x + 6\cdot y = -3 + 9 \cdot \alpha \\
\end{cases}$
Събираме двете уравнения и получаваме:
$-13\cdot x = 13 \Rightarrow y = \dfrac{13\cdot\alpha -13}{13} = \alpha -1$
Решението на системата е $\{\alpha-1;1;\alpha \}$
Пример 60
$\begin{cases}
2\cdot x + 3\cdot y = \color{red}{5}\\
-3 \cdot x + 2\cdot y = \color{red}{-1}\\
4\cdot x - y = \color{red}{3}
\end{cases}$
Матрицата, асоциирана със системата, е:
$\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
-3 & 2 \\
4 & -1
\end{pmatrix}$
Определяме ранга на матрицата.
$2\neq 0$
$\begin{vmatrix}
2 & 3\\
-3 & 2
\end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$ (Рангът е 2)
Разширената матрица е:
$\begin{pmatrix}
2 & 3 & \color{red}{5}\\
-3 & 2 & \color{red}{-1}\\
4 & -1 & \color{red}{3}
\end{pmatrix}$
Определяме ранга на разширената матрица.
$2\neq 0$
$\begin{vmatrix}
2 & 3\\
-3 & 2
\end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$
$\begin{vmatrix}
2 & 3 & \color{red}{5}\\
-3 & 2 & \color{red}{-1}\\
4 & -1 & \color{red}{3}
\end{vmatrix}=0 $ (защото има две еднакви колони; следователно, рангът е 2)
Тъй като ранговете са равни, системата е неопределена с безкраен брой решения. Минорът, отговарящ на ранга, става основен минор. $\Delta_{p} = \begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}$
Променливите x и y, които имат коефициенти в основния минор, стават основни променливи, а z става второстепенна променлива. Няма второстепенни променливи. Първите две уравнения, в които намираме основния минор, стават основни уравнения. Решаваме системата, образувана от основните уравнения.
$\begin{cases}
2\cdot x + 3\cdot y = 5\\
-3 \cdot x + 2\cdot y = -1\\
\end{cases}$
Умножаваме първото уравнение с 3, а второто с 2.
$\begin{cases}
6\cdot x + 9\cdot y = 15\\
-6 \cdot x + 4\cdot y = -2 \\
\end{cases}$
Събираме двете уравнения и получаваме:
$13\cdot y = 13 \Rightarrow y = \dfrac{13}{13} = 1$
Правим същото, за да намерим x. Умножаваме първото уравнение с -2, а второто с 3.
$ \begin{cases}
-4\cdot x - 6\cdot y = -10\\
-9 \cdot x + 6\cdot y = -3\\
\end{cases}$
Събираме двете уравнения и получаваме:
$ -13\cdot x = -13 \Rightarrow y = \dfrac{-13}{-13} = 1$
Проверяваме дали резултатите са валидни решения на второстепенното уравнение.
$4\cdot1 -1\cdot1 = 3$
Решението на системата е $\{1;1 \}$
