Деление на полиноми

от Catalin David

Основен запис на едночлен

$f(x)=ax^n$, където:

$a$ е коефициент и може да принадлежи на множествата $N, Z, Q, R, C$

$x$ е променлива

$n$ е степен на многочлена и е естествено число

Два едночлена са равни, ако имат една и съща променлива и са от една и съща степен.

Пример: $3x^2$ и $-5x^2$; $\frac{1}{2}x^4$ и $2\sqrt{3}x^4$

Сумата от различни едночлени се нарича многочлен (полином). В този случай едночлените са елементи на полинома. Полином, съставен от два едночлена, се нарича бином.

Пример: $p(x)=3x^2-5; h(x)=5x-1$
Полином, съставен от три едночлена, се нарича трином.

Най-често полином с една променлива се записва във вида
$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x^1+a_0$
където:

• $a_n, a_{n-1},a_{n-2},...,a_1,a_0$ са коефициенти на полинома. Те могат да принадлежат на множеството на естествените числа, целите числа, рационалните числа, реалните числа или комплексните числа .
• $a_n$ е коефициентът пред най–високата степен на $x$ (старши коефициент)
• $a_0$ е коефициентът пред най-ниската степен на $x$ (константата)
• $n$ е степен на полинома

Пример 1
$p(x)=5x^3-2x^2+7x-1$

• полином от трета степен с коефициенти 5, -2, 7 и -1
• 5 е старши коефициент
• -1 е константата
• x е променливата

Пример 2
$h(x)=-2\sqrt{3}x^4+\frac{1}{2}x-4$

• полином от четвърта степен с коефициенти $-2\sqrt{3}, \frac{1}{2}$ и $-4$
• $-2\sqrt{3}$ е старши коефициент
• $-4$ е константата
• $x$ е променливата

Деление на полиноми

$p(x)$ и $q(x)$ са два полинома:
$p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x^1+a_0$
$q(x)=a_px^p+a_{p-1}x^{p-1}+...+a_1x^1+a_0$

За да изчислим частното и остатъка от делението на $p(x)$ на $q(x)$, ще използваме следния алгоритъм:

1. Степента на $p(x)$ трябва да бъде равна или по-голяма от степента на $q(x)$.
2. Записваме полинома, като подреждаме променливите по степен, като започваме от най-високата и стигаме до най-ниската степен. Ако липсва някоя степен, то променливата от тази степен се записва с коефициент 0.
3. Старшият член (с най-високата степен) на полинома-делимо $p(x)$ се дели на старшия член на полинома-делител $q(x)$ и резултатът се записва под линията на делителя (знаменателя).
4. Умножаваме резултата с всички елементи на полинома-делител $q(x)$ и записваме резултатите под елементите на полинома-делимо $p(x)$ със съответната степен.
5. Изваждаме елементите от една и съща степен.
6. До резултатите записваме останалите елементи на полинома-делимо $p(x)$.
7. Делим старшия член на новия полином на първия елемент на полинома-делител $q(x)$ и повтаряме стъпки 3-6.
8. Повтаряме всички стъпки, докато новият полином достигне по-ниска степен от полинома-делител $q(x)$. Това ще е остатъкът от делението.
9. Полиномът, записан под линията на делителя, ще е частното.

Пример 1
Стъпка 1 и 2) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$

Пример 2
p(x)=x⁴+3x²+2x-8
q(x)=x²-3x

Правило на Хорнер за деление на полиноми с полином от първа степен

Освен гореизложения алгоритъм за делението на полиноми, може да се използва и правилото на Хорнер.
Ако $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$, полиномът може да бъде записан във вида: $f(x)=a_0+x(a_1+x(a_2+...+x(a_{n-1}+a_nx)...))$
$q(x)$ е от първа степен ⇒ $q(x)=mx+n$
Частното, ще е от степен $n-1$.

От правилото на Хорнер, следва че, $x_0=-\frac{n}{m}$.
$b_{n-1}=a_n$
$b_{n-2}=x_0.b_{n-1}+a_{n-1}$
$b_{n-3}=x_0.b_{n-2}+a{n-2}$
...
$b_1=x_0.b_2+a_2$
$b_0=x_0.b_1+a_1$
$r=x_0.b_0+a_0$
където $b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+...+b_1x+b_0$ е частното. Т.к. делителят е от първа степен, а остатъкът е от степен по-малка от степента на делителя, то степента на остатъка ще е нулева.

Евклидово деление ⇒ $p(x)=q(x).c(x)+r$ ⇒ $p(x)=(mx+n).c(x)+r$, ако $x_0=-\frac{n}{m}$
Вижда се, че $p(x_0)=0.c(x_0)+r \Rightarrow p(x_0)=r$

Пример 3
p(x)=5x⁴-2x³+4x²-6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
x₀=3

b₃=5
b₂=3.5-2=13
b₁=3.13+4=43 ⇒ c(x)=5x³+13x²+43x+123; r=362
b₀=3.43-6=123
r=3.123-7=362
5x⁴-2x³+4x²-6x-7=(x-3)(5x³+13x²+43x+123)+362

Пример 4
p(x)=-2x⁵+3x⁴+x²-4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x⁵+3x⁴+0x³+x²-4x+1
q(x)=x+2
x₀=-2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))

b₄=-2          b₁=(-2).(-14)+1=29
b₃=(-2).(-2)+3=7     b₀=(-2).29-4=-62
b₂=(-2).7+0=-14     r=(-2).(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x⁴+7x³-14x²+29x-62; r=125
-2x⁵+3x⁴+x²-4x+1=(x+2)(-2x⁴+7x³-14x²+29x-62)+125

Пример 5
$p(x)=3x^3-5x^2+2x+3$
$q(x)=2x-1$
$x_0=\frac{1}{2}$
$p(x)=3+x(2+x(-5+3x))$
$b_2=3$
$b_1=\frac{1}{2}\cdot 3-5=-\frac{7}{2}$
$b_0=\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{7}{2}\right)+2=-\frac{7}{4}+2=\frac{1}{4}$
$r=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}+3=\frac{1}{8}+3=\frac{25}{8} \Rightarrow c(x)=3x^2-\frac{7}{2}x+\frac{1}{4}$
$\Rightarrow 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac{7}{2}x+\frac{1}{4})+\frac{25}{8}$

Заключение
Ако делим с полином от степен, по-висока от първа, за да намерим частното и остатъка, прилагаме стъпки 1-9. Ако делим с полином от първа степен $mx+n$, за да намерим частното и остатъка, използваме правилото на Хорнер, където $x_0=-\frac{n}{m}$.
Ако трябва да намерим само остатъка при делението с полином от първа степен, търсим $p(x_0)$.
Пример 6
$p(x)=-4x^4+3x^3+5x^2-x+2$
$q(x)=x-1$
$x_0=1$
$r=p(1)=-4.1+3.1+5.1-1+2=5$
$r=5$