Детерминанта на матрица

Автор: Каталин Дейвид

Дефиниция

Детерминантата на квадратна матрица A е цяло число, получено чрез различни методи, използвайки елементите на матрицата.

Означения

Нека $ A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$det(A) = \left|A\right| = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end{vmatrix}$

Свойства на детерминантите

1. Ако матрицата има ред или колона, в която всички елементи са равни на 0, то нейната детерминанта е 0.
   
   Пример 12
   $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 0 & 0 & 0\\ 3 & 9 & 5 \end{vmatrix}= 0$ или $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 0\\ 4 & 2 & 0\\ 3 & 9 & 0 \end{vmatrix}=0$
2. Ако матрицата има два еднакви реда или две еднакви колони, то нейната детерминанта е 0.
   
   Пример 13
   $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 1 & 4 & 2\\ 3 & 9 & 5 \end{vmatrix}= 0$ or $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 1\\ 4 & 2 & 4\\ 3 & 9 & 3 \end{vmatrix}=0$
3. Ако матрицата има два пропорционални реда или две пропорционални колони, то нейната детерминанта е 0.
   
   Пример 14
   $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 2 & 8 & 4\\ 3 & 9 & 5 \end{vmatrix}= 0$ (Първите два реда са пропорционални.)
   или
   $\begin{vmatrix} 8 & 4 & 7\\ 4 & 2 & 3\\ 18 & 9 & 8 \end{vmatrix}=0$ (Двете първи колони са пропорционални.)
4. Ако ред или колона е сума или разлика от други редове, съответно колони, то детерминантата е 0.
   
   Пример 15
   $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 7 & 2 & 3\\ 8 & 6 & 5 \end{vmatrix}= 0$     $P_{1} +P_{2} =P_{3}$ or
   
   $ \begin{vmatrix} 9 & 12 & 3\\ 1 & 8 & 7\\ 5 & 7 & 2 \end{vmatrix}=0$     $K_{1}+K_{3}=K_{2}$
5. В детерминанта можем индивидуално да изнасяме цели числа пред редове и колони.
   
   Пример 16
   В детерминанта
   $\begin{vmatrix} 3 & 9 & 12\\ 5 & 1 & 8 \\ 7 & 4 & 2 \end{vmatrix}$, изнасяме 3 пред ред 1 $(P_{1})$ и получаваме:
   $3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4\\ 5 & 1 & 8\\ 7 & 4 & 2 \end{vmatrix}$, след това изнасяме 2 от колона 3 $(K_{3})$:
   $6\cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2\\ 5 & 1 & 4\\ 7 & 4 & 1 \end{vmatrix}$
6. В детерминанта можем да събираме или изваждаме редове или колони към други редове, съответно колони, и стойността на детерминантата остава същата.
   
   Пример 17
   $\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{P_{1}+P_{2}} \begin{vmatrix} 4 & 13\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$
   Пример 18
   $\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{K_{1}+K_{2}} \begin{vmatrix} 6 & 5\\ 11 & 8 \end{vmatrix}$
7. В детерминанта можем да добавяме или изваждаме кратни на редове или колони.
   
   Пример 19
   $\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{2P_{1}+3P_{2}} \begin{vmatrix} 11 & 34\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$
   
   Пример 20
   $\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{5K_{1}-K_{2}} \begin{vmatrix} 0 & 5\\ 7 & 8 \end{vmatrix}$
8. Детерминантът на матрица е равен на детерминанта на нейния транспониран (транспонирането на матрица се получава, като редовете и колоните й се заменят).
9. Детерминантът на произведението на две квадратни матрици е равен на произведението от детерминантите на дадените матрици.

Минор на матрица

Детерминантът, получен чрез елиминиране на определени редове и колони от квадратна матрица, се нарича минор на тази матрица.

Пример 21
$A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

Един от минорите на матрицата A е $\begin{vmatrix} 1 & 4\\ 5 & 3 \end{vmatrix}$ (получен чрез елиминиране на ред 3 и колона 3 от матрицата A)

Друг минор е $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 1 \end{vmatrix}$ (получен чрез елиминиране на ред 2 и колона 2 от матрицата A)

Пример 22
$B=\begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 & 3\\ 4 & 1 & 7 & 9\\ 6 & 8 & 3 & 2\\ 7 & 8 & 1 & 4 \end{pmatrix} $

Един от минорите на матрицата B е $ \begin{vmatrix} 1 & 7 & 9\\ 8 & 3 & 2\\ 8 & 1 & 4 \end{vmatrix}$ (получен чрез елиминиране на ред 1 и колона 1 от матрицата B)

Друг минор е $\begin{vmatrix} 1 & 7 \\ 8 & 3 \end{vmatrix}$ (получен чрез елиминиране на редове 1 и 4 и колони 1 и 4 от матрицата B)

Нека $A= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n}\\ . & . & . & . & .& .\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & a_{n,n} \end{pmatrix}$

Можем да свържем минора $\Delta_{i,j}$ (получен чрез елиминиране на ред i и колона j) с всяко число $a_{i,j}$ от матрицата A.

Пример 23
$ A = \begin{pmatrix} 4 & 7\\ 2 & 9 \end{pmatrix}$

Трябва да определим минора, свързан с числото 2. Тъй като този елемент се намира в ред 2, колона 1, тогава 2 е $a_{2,1}$.

Трябва да елиминираме ред 2 и колона 1 от матрицата A, като резултатът е

Минорът на 2 е $\Delta_{2,1} = 7$.

Пример 24
$B=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

Трябва да определим минора, свързан с числото 7. Тъй като този елемент се намира в ред 2, колона 3, тогава 7 е $a_{2,3}$.

Трябва да елиминираме ред 2 и колона 3 от матрицата B, като резултатът е

Минорът на 7 е $\Delta_{2,3}= \begin{vmatrix} 1 & 4\\ 6 & 2 \end{vmatrix}$

Пример 25
$C=\begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 & 3\\ 4 & 1 & 7 & 9\\ 6 & 8 & 3 & 2\\ 7 & 8 & 1 & 4 \end{pmatrix}$

Трябва да определим минора, свързан с числото 5. Тъй като този елемент се намира в ред 1, колона 2, тогава 5 е $a_{1,2}$.

Трябва да елиминираме ред 1 и колона 2 от матрицата C, като резултатът е

Минорът на 5 е $\Delta_{1,2}= \begin{vmatrix} 4 & 7 & 9\\ 6 & 3 & 2\\ 7 & 1 & 4\\ \end{vmatrix}$

Адюнгирани количества

Нека $A=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n}\\ . & . & . & . & .& .\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & a_{n,n}\\ \end{pmatrix}$

Адюнгираното количество $(-1)^{i+j}\cdot\Delta_{i,j}$ съответства на всяко число $a_{i,j}$ в матрицата A. Например, адюнгираното количество $(-1)^{2+5}\cdot\Delta_{2,5}=(-1)^{7}\cdot\Delta_{2,5}= -\Delta_{2,5} $ съответства на елемента $ a_{2,5}$.

Ред на детерминанта

Редът на детерминантата е равен на броят на редовете и колоните й.

Пример 26
$\begin{vmatrix} 1 & 4\\ 6 & 2\\ \end{vmatrix}$ (има 2 реда и 2 колони така, че редът е 2)

Пример 27
$\begin{vmatrix} 4 & 7 & 9\\ 6 & 3 & 2\\ 7 & 1 & 4\\ \end{vmatrix}$ (има 3 реда и 3 колони така, че редът е 3)

Изчисляване на детерминантата на матрица

Детерминантата на матрица е равна на сумата от произведенията на елементите от който и да е ред или колона и техните адюнгирани количества.

$\left| A\right| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n}\\ . & . & . & . & .& .\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & a_{n,n}\\ \end{vmatrix}$

Можем да изчислим детерминантата, използвайки, например, ред i:

$\left| A\right| =a_{i,1}\cdot(-1)^{i+1}\cdot\Delta_{i,1}$ $+a_{i,2}\cdot(-1)^{i+2}\cdot\Delta_{i,2}+a_{i,3}\cdot(-1)^{i+3}\cdot\Delta_{i,3}+...$ $+a_{i,n}\cdot(-1)^{i+n}\cdot\Delta_{i,n}$

Също така можем да изчислим детерминантата, използвайки колона j:

$\left| A\right| =a_{1,j}\cdot(-1)^{1+j}\cdot\Delta_{1,j}$ $+a_{2,j}\cdot(-1)^{2+j}\cdot\Delta_{2,j}+a_{3,j}\cdot(-1)^{3+j}\cdot\Delta_{3,j}+...$ $+a_{n,j}\cdot(-1)^{n+j}\cdot\Delta_{n,j}$

Изчисляване на детерминанта 2x2

Използваме ред 1 за изчисляване на детерминантата.

$\left| A\right| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2}\\ \end{vmatrix} = a_{1,1}\cdot(-1)^{1+1}\cdot\Delta_{1,1}+a_{1,2}\cdot(-1)^{1+2}\cdot\Delta_{1,2}=$

$a_{1,1}\cdot(-1)^{2}\cdot\Delta_{1,1}+a_{1,2}\cdot(-1)^{3}\cdot\Delta_{1,2}=a_{1,1}\cdot\Delta_{1,1}-a_{1.2}\cdot\Delta_{1,2}$

Обаче, $\Delta_{1,1}= a_{2,2}$ и $ \Delta_{1,2}=a_{2,1}$

$ \left| A\right| =a_{1,1} \cdot a_{2,2}- a_{1,2} \cdot a_{2,1}$

$\color{red}{ \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} =a \cdot d - b \cdot c}$

Пример 28
$\begin{vmatrix} 2 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix} =2 \cdot 8 - 3 \cdot 5 = 16 -15 =1$

Пример 29
$\begin{vmatrix} -4 & 7\\ -2 & 9 \end{vmatrix} =-4 \cdot 9 - 7 \cdot (-2) = -36 -(-14) =-36 + 14 = - 22$

Изчисляване на детерминанта 3x3

Използваме ред 1, за да изчислим детерминантата.

$ \left| A\right| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} =$ $a_{1,1}\cdot(-1)^{1+1}\cdot\Delta_{1,1}+a_{1,2}\cdot(-1)^{1+2}\cdot\Delta_{1,2}$ $+a_{1,3}\cdot(-1)^{1+3}\cdot\Delta_{1,3}=$ $=a_{1,1}\cdot(-1)^{2}\cdot\Delta_{1,1}+a_{1,2}\cdot(-1)^{3}\cdot\Delta_{1,2}$ $+a_{1,3}\cdot(-1)^{4}\cdot\Delta_{1,3}=$ $a_{1,1}\cdot\Delta_{1,1}-a_{1,2}\cdot\Delta_{1,2}+a_{1,3}\cdot\Delta_{1,3}$

$\Delta_{1,1}= \begin{vmatrix} a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} = a_{2,2}\cdot a_{3,3}-a_{2,3}\cdot a_{3,2}$

$\Delta_{1,2}= \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,3} \end{vmatrix} = a_{2,1}\cdot a_{3,3}-a_{2,3}\cdot a_{3,1}$

$\Delta_{1,3}= \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,2}\\ a_{3,1} & a_{3,2} \end{vmatrix} = a_{2,1}\cdot a_{3,2}-a_{2,2}\cdot a_{3,1}$

$\left| A\right| =a_{1,1}\cdot( a_{2,2}\cdot a_{3,3}-a_{2,3}\cdot a_{3,2})-a_{1,2}\cdot(a_{2,1}\cdot a_{3,3}-a_{2,3}\cdot a_{3,1})+$ $a_{1,3}\cdot(a_{2,1}\cdot a_{3,2}-a_{2,2}\cdot a_{3,1})=$ $a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}-a_{1,1}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,2}-a_{1,2}\cdot a_{2.1}\cdot a_{3,3}+a_{1,2}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,1}+$ $a_{1,3}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,2}-a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1}=$ $\color{red}{a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}+a_{1,2}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,1}+a_{1,3}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,2}-}$ $\color{red}{(a_{1,1}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,2}+a_{1,2}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,3}+a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1})}$

За по-бързо може да използваме следния метод:

Първо пренаписваме първите два реда под детерминантата по следния начин.

Умножаваме елементите върху всяка от трите червени диагонали (основната диагонал и тези под нея) и сумираме резултатите:
$\color{red}{a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}+ a_{2,1}\cdot a_{3,2}\cdot a_{1,3}+a_{3,1}\cdot a_{1,2}\cdot a_{2,3}}$

Умножаваме елементите върху всеки от трите сини диагонали (вторичния диагонал и тези под него) и сумираме резултатите:

$\color{blue}{a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1}+ a_{2,3}\cdot a_{3,2}\cdot a_{1,1}+a_{3,3}\cdot a_{1,2}\cdot a_{2,1}}$

Ако извадим двете връзки, получаваме формулата за детерминанта:

$\color{red}{a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}+ a_{2,1}\cdot a_{3,2}\cdot a_{1,3}+a_{3,1}\cdot a_{1,2}\cdot a_{2,3}-}$ $\color{red}{(a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1}+ a_{2,3}\cdot a_{3,2}\cdot a_{1,1}+a_{3,3}\cdot a_{1,2}\cdot a_{2,1})}$

Пример 30
$A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 1\\ \end{pmatrix}$

Пример 31
$A=\begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 1 & 4 & 2\\ 7 & 1 & 9\\ \end{pmatrix}$

$= 3\cdot4\cdot9 + 1\cdot1\cdot1 + 7\cdot5\cdot2 -(1\cdot4\cdot7 + 2\cdot1\cdot3 + 9\cdot5\cdot1) =$ $ 108 + 1 + 70 -(28 + 6 + 45)=79-79=100$

Има детерминанти, чиито елементи са букви. Те могат да бъдат изчислени по-лесно, използвайки свойствата на детерминантите. Например, изчисляваме детерминантата на матрица, в която на всеки ред или колона има същите елементи, но пренаредени.

$\begin{vmatrix} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{vmatrix}$ $ \xlongequal{K_{1}+K_{2}+K_{3}} \begin{vmatrix} a + b + c & b & c\\ c + a + b & a & b\\ b + c + a & c & a \end{vmatrix} = (a + b + c) \cdot \begin{vmatrix} 1 & b & c\\ 1 & a & b\\ 1 & c & a \end{vmatrix}$

Изчисляване последната детерминанта:

$\begin{vmatrix} 1 & b & c\\ 1 & a & b\\ 1 & c & a \end{vmatrix}$
$\begin{array}{ccc} 1 & b & c\\ 1 & a & b \end{array}$

$ = a^{2} + b^{2} + c^{2} -a\cdot c - b\cdot c - a\cdot b =$ $\frac{1}{2}\cdot(2a^{2} +2b^{2}+2c^{2} -2a\cdot b -2a\cdot c-2b\cdot c) =$ $\frac{1}{2}\cdot(a^{2}-2a\cdot b + b^{2}+ a^{2}-2a\cdot c +c^{2}+b^{2}-2b\cdot c + c^{2})=$ $\frac{1}{2}\cdot[(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2}]$

В заключение

$\begin{vmatrix} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\cdot(a+b+c)\cdot[(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2}]$

Пример 32
Изчисляваме детерминантата на матрица на Вандермонд.
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ a & b & c\\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{vmatrix}$

Използвайки свойствата на детерминантите, модифицираме ред 1, за да имаме два елемента, равни на 0. В този случай, когато прилагаме формулата, няма нужда да изчисляваме адюнгираните количества на тези елементи, защото умножени ще бъдат 0.

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ a & b & c\\ a^{2} & b^{2} & c^{2}\\ \end{vmatrix}$ $\xlongequal{K_{1}- K_{3}, K_{2} -K_{3}} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1\\ a-c & b-c & c\\ a^{2}- c^{2} & b^{2}-c^{2} & c^{2} \end{vmatrix}=$ $1\cdot(-1)^{1+3}\cdot \begin{vmatrix} a-c & b-c \\ a^{2}- c^{2} & b^{2}-c^{2} \end{vmatrix}= $

$\begin{vmatrix} a-c & b-c \\ (a-c)(a+c) & (b-c)(b+c) \end{vmatrix}=$ $(a-c)(b-c)\begin{vmatrix} 1 & 1\\ a+c & b+c \end{vmatrix}=$

$=(a-c)(b-c)[(b+c)-(a+c)]=$ $(a-c)(b-c)(b+c-a-c)=(a-c)(b-c)(b-a)$

Изчисляване на детерминанта 4x4

За да изчислим детерминанти 4x4, използваме общата формула.

Преди да приложим формулата, използвайки свойствата на детерминантите:

1. Проверяваме дали някое от условията за стойността на детерминантата да е 0 е изпълнено.
2. Проверяваме дали можем да изнесем общ множител от някой ред или колона.
3. Проверяваме дали детерминантата е матрица на Вандермонд или дали има същите елементи, но пренаредени, на някой ред или колона.

В някой от тези случаи използваме съответните методи за изчисляване на детерминанти 3x3. Модифицираме ред или колона, за да го запълним с 0, освен за един елемент. Детерминантата ще бъде равна на произведението на този елемент и неговото адюнгирано количество. В този случай адюнгираното количество е детерминанта 3x3, която се изчислява със специфичната си формула.

Пример 33
$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 9 & 2\\ 5 & 8 & 4 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 1 & 8 \end{vmatrix}$

Забелязваме, че всички елементи на ред 3 са 0, следователно детерминантата е 0.

Пример 34
$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 & 2\\ 5 & 8 & 5 & 3\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 2 & 8 \end{vmatrix}$
Забелязваме, че колони 1 и 3 са еднакви, следователно детерминантата е 0.

Пример 35
$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 9 & 2\\ 5 & 8 & 4 & 3\\ 10 & 16 & 18 & 4\\ 2 & 3 & 1 & 8 \end{vmatrix}$
Забелязваме, че редове 2 и 3 са пропорционални, следователно детерминантата е 0.

Пример 36
$\begin{vmatrix} \color{red}{4} & 3 & 2 & 2\\ 0 & 1 & -3 & 3\\ 0 & -1 & 3 & 3\\ 0 & 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

Тъй като има само един елемент, различен от 0, в колона 1, прилагаме общата формула, използвайки тази колона. Адюнгираните количества, съответстващи на елементите, които са 0, не е необходимо да се изчисляват, защото произведението им с тези елементи ще бъде 0.

=
$=4(1\cdot3\cdot1 +(-1)\cdot1\cdot3+3\cdot(-3)\cdot3$ $-(3\cdot3\cdot3+3\cdot1\cdot1 +1\cdot(-3)\cdot(-1)))$ $=4(3-3-27-(27+3+3))=4\cdot(-60)=-240$

Пример 37
$\begin{vmatrix} 4 & 3 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -2\\ 1 & -1 & 3 & 3\\ 2 & 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

За да модифицираме редовете така, че да имат повече нули, работим с колоните и обратно. Избираме ред или колона, съдържащ елемент 1, защото чрез умножение можем да получим всяко число.

Забелязваме, че вече има два елемента, равни на 0, в ред 2. Трябва само да направим още един елемент 0, за да изчислим само адюнгираното количество на 1.

$\begin{vmatrix} 4 & 3 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -2\\ 1 & -1 & 3 & 3\\ 2 & 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} \xlongequal{K_{4}+2K_{2}}$ $\begin{vmatrix} 4 & 3 & 2 & 8\\ 0 & \color{red}{1} & 0 & 0\\ 1 & -1 & 3 & 1\\ 2 & 3 & 1 & 7 \end{vmatrix}=$ $=$

$= 1\cdot(-1)^{2+2}\cdot \begin{vmatrix} 4 & 2 & 8\\ 1 & 3 & 1\\ 2 & 1 & 7 \end{vmatrix}=$
$=4\cdot3\cdot7 + 1\cdot1\cdot8 + 2\cdot2\cdot1$ $-(8\cdot3\cdot2 + 1\cdot1\cdot4 + 7\cdot2\cdot1) =$ $ 84 + 8 + 4- 48-4-14=30$

Пример 38
$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & 2\\ 2 & 3 & 1 & -1\\ 3 & 3 & 3 & 3\\ -1 & 4 & 2 & 1\\ \end{vmatrix}$

Можем да изнесем 3 от трети ред:
$3\cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & 2\\ 2 & 3 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 4 & 2 & 1\\ \end{vmatrix}$

Тъй като всички елементи на ред 3 са 1, може лесно да ги превърнем в нули.

$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & 2\\ 2 & 3 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 4 & 2 & 1 \end{vmatrix}$ $ \xlongequal{K_{1} - K_{4},K_{2}-K_{4},K_{3}-K_{4}} \begin{vmatrix} -1 & -4 & 1 & 2\\ 3 & 4 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{1}\\ -2 & 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}$ $=1\cdot(-1)^{3+4}\cdot$ $=(-1)\cdot \begin{vmatrix} -1 & -4 & 1\\ 3 & 4 & 2 \\ -2 & 3 & 1\\ \end{vmatrix}$
$=-((-1)\cdot 4\cdot 1 +3 \cdot 3\cdot1 + (-2)\cdot (-4)\cdot 2$ $- (1\cdot 4\cdot (-2) + 2\cdot 3\cdot (-1) + 1\cdot (-4)\cdot3))$ $=-(-4 + 9 + 16 + 8 + 6 + 12) =-47$

Пример 39
$\begin{vmatrix} 2 & 5 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 6 & 3\\ 5 & 3 & 7 & 2\\ 1 & 0 & 2 & 4 \end{vmatrix}$

В този пример можем да използваме последния ред (който съдържа 1) и да преобразуваме в нули първата колона.

$\begin{vmatrix} 2 & 5 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 6 & 3\\ 5 & 3 & 7 & 2\\ 1 & 0 & 2 & 4 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{P_{1}-2P_{4},P_{2}-4P_{4}, P_{3}-5P_{4}} \begin{vmatrix} 0 & 5 & -3 & -4\\ 0 & 1 & -2 & -13\\ 0 & 3 & -3 & -18\\ \color{red}{1} & 0 & 2 & 4 \end{vmatrix}=$ $=1\cdot(-1)^{4+1}\cdot \begin{vmatrix} 5 & -3 & -4\\ 1 & -2 & -13\\ 3 & -3 & -18 \end{vmatrix}=$ $(-1)\cdot \begin{vmatrix} 5 & -3 & -4\\ 1 & -2 & -13\\ 3 & -3 & -18 \end{vmatrix}$

Изнасяме -1 от колона 2 и -1 от колона 3.
$ (-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot \begin{vmatrix} 5 & 3 & 4\\ 1 & 2 & 13\\ 3 & 3 & 18 \end{vmatrix}=$ $(-1)\cdot \begin{vmatrix} 5 & 3 & 4\\ 1 & 2 & 13\\ 3 & 3 & 18 \end{vmatrix}=$ $-[5\cdot 2\cdot 18 + 1\cdot 3\cdot 4+ 3\cdot 3\cdot 13 - (4\cdot 2\cdot 3\cdot + 13\cdot 3\cdot 5 + 18\cdot 3\cdot 1)]=$ $-(180+12+117-24-195-54)=36$

Пример 40
$\begin{vmatrix} 4 & 7 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 1 & 2\\ 2 & 5 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 2 & 3 \end{vmatrix}$

В колона 3 има 1, така че ще преобразуваме в нули ред 2.

$\begin{vmatrix} 4 & 7 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 1 & 2\\ 2 & 5 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 2 & 3 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{K_{1}-K_{3}, K_{2}-3K_{3},K_{4}-2K_{3}} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & \color{red}{1} & 0 \\ -1 & -4 & 3 & -2\\ -1 & -2 & 2 & -1 \end{vmatrix}=$ $=1\cdot(-1)^{2+5}\cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1\\ -1 & -4 & -2\\ -1 & -2 & -1 \end{vmatrix}$

Изнасяме -1 от колона 2 и -1 от колона 3.
$ (-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1\\ 1 & 4 & 2\\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}=$ $(-1)\cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1\\ 1 & 4 & 2\\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}=$ $-[2\cdot 4\cdot 1 + 1\cdot 2\cdot (-1)+ 1\cdot 1\cdot 2 - ((-1)\cdot 4\cdot 1 + 2\cdot 2\cdot 2 + 1\cdot 1\cdot 1)]=$ $-(8-2+2+4-8-1)=-3$

Пример 41
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 & 4\\ 1 & 3 & 4 & 2\\ 3 & 4 & 2 & 1\\ 4 & 2 & 1 & 3\\ \end{vmatrix}$

Забелязваме, че всеки ред или колона има същите елементи, но пренаредени. В този случай събираме всички редове или всички колони.

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 & 4\\ 1 & 3 & 4 & 2\\ 3 & 4 & 2 & 1\\ 4 & 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{L_{1}+L_{2}+L_{3}+L_{4}} \begin{vmatrix} 10 & 10 & 10 & 10\\ 1 & 3 & 4 & 2\\ 3 & 4 & 2 & 1\\ 4 & 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} =$ $10\cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 4 & 2\\ 3 & 4 & 2 & 1\\ 4 & 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{K_{1} - K_{4},K_{2}-K_{4},K_{3}-K_{4}}10\cdot \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & \color{red}{1}\\ -1 & 1 & 2 & 2\\ 2 & 3 & 1 & 1\\ 1 & -1 & -2 & 3 \end{vmatrix}=$

$=10\cdot1\cdot(-1)^{1+4}$

$ = (-10)\cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2\\ 2 & 3 & 1\\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix}=$ $(-10)\cdot((-1)\cdot 3\cdot (-2) +2 \cdot (-1)\cdot2 + 1\cdot 1\cdot 1$ $-(2\cdot 3\cdot 1 + 1\cdot (-1)\cdot (-1) + (-2)\cdot1\cdot2))$ $= -10\cdot(6 -4 +1 -6 - 1 + 4) =0$