Специални равнинни криви

Лемниската

Уравнение в полярни координати:
$r^2=a^2\cos2\theta$

Нормално равнение:
$(x^2+y^2)^2=a^2(x^2-y^2)$

Ъгъл между $AB'$ или $A'B$ и оста $x = 45^\circ$

Уравнение на затворена крива $=\frac{a^2}{2}$

Циклоид

Уравнения в параметрична форма:

Уравнение на една арка = 3πa²

Дължина на арка = 8a

Това е прива описана от точка P по кръг с радиус a движеща се по оста х.

Хипоциклоид с четири листа

Уравнение в квадратни координати:
$x^\frac{2}{3}+y^\frac{2}{3}=a^\frac{2}{3}$

Параметрично уравнение:
$\left\{\begin{array}{lr}x=a\cos^3\theta\\ y=a\sin^3\theta\end{array}\right.$

Лицето на хиперболоид ограден от крива е $\frac{3\pi a^2}{8}$

Дължина на цялата крива е $6a$

Tова е крива описана от точка $P$ по окръжност с радиус $\frac{a}{4}$ като се движи по вътрешността на окръжност с радиус $а$.

Кардиоид

Уравнение: $r=a(1+\cos\theta)$

Лицето на кардиоид ограден от крива е $\frac{3\pi a^2}{2}$

Дължина на крива е $8a$

Това е кривата описана от точка Р по окръжност с радиус а като се движи по външността на фиксирана окръжност с радиус a. Кривата също е специален случай на limacon of Pascal.

Дъга

Уравнение:
y = a(e^x/a + e^-x/a)/2 = acosh(x/a)

Това е крива, на която ако е окачена тежка верига вертикално от фиксирани точки А и В ще виси.

Трилистна роза

Уравнение: r = acos3θ

Уравнението r = acos3θ е подобна на крива получена чрез въртене на кривата по посока обратна на часовниковата стрелка на 30^o или π/6 радиани.

По принцип r = acosnθ или r = asinnθ има n листа ако n е нечетно.

Четирилистна роза

Уравнение: r = acos2θ

Уравнението r = asin2θ е подобна крива получена чрез въртене на кривата по посока обратна на часовниковата стрелка на 45^o или π/4 радиани.

По принцип r = acosnθ или r = asinnθ има 2n листа ако n е четно.

Епициклоид

Полярни уравнения:

Това е крива описана от точка P от окръжност с радиус b като се движи по външаната страна на окръжност с радиус а.Кардиоида е частен случай на епициклоид.

Обикновен хипоцикоид

Полярни уравнения:

Това е крива описана от точка Р от кръг с радиус b като се движи по външността на окръжност с радиус а.

Ако b = a/4, кривата е хипоциклоид с четири листенца.

TROCHOID

Полярни уравнения:

Това е крива описана от точка P на разстояние b от центъра на окръжност с радиус a като окръжността се движи по оста х.
Ако b < a, кривата е показана на Fig.11-10 и се нарича curtate циклоид.
Ако b > a, кривата е показана на Fig.11-11 и се нарича prolate циклоид.
Ако b = a, кривата е циклоид.

TRACTRIX

Полярни уравнения:

Това е крива описана от външна точка P на права отсечка PQ с дължина a като другия край Q се мести по оста х.

WHITCH OF AGNESI

Уравнение в квадратни координати: y = 8a³/(x² + 4a²)

Параметрични уравнения:

На фигурата променящата се права OA пресича y = 2a и окръжността с радиус a с център (0,a) в A и B съответно. Всяка точка P "която" се разполага чрез спускане на прави успоредни на осите x и y през точките B и съответно A и се определя точката P на пресичане.

Фолио на Декарт

Уравнение в квадратни координати:
x³ + y³ = 3axy

Параметрични уравнения:

Уравнение с наклон 3a²/2

Уравнение на асимптота: x + y + a = 0.

СПИРАЛА на кръг

Параметрични уравнения:

ТОва е крива описана чрез крайната точка P на нишка, която се развива от окръжност с радиус a докато стане права.

EVOLUTE на елипса

Уравнение в квадратни координати:
(ax)^2/3 + (by)^2/3 = (a² - b²)^2/3

Параметрични уравнения:

Това е крива на envelope на нормалите на елипсата x²/a² + y²/b² = 1.

Овали на Касини

Полярно уравнение: r⁴ + a⁴ - 2a²r²cos2θ = b⁴.

Това е крива описана от точка P така че накрая разстоянието от две фиксирани точки[разстоянието 2а] е константата b².

Кривата е на фигурите съответно когато b < a или b > a.

Ако b = a, кривата е lemniscate

LIMASCON на Паскал

Полярно уравнение: r = b + acosθ

Нека OQ е права свързваща началото О, с която и да е точка Q от окръжностс диаметър a минаваща през О.Тогава кривата е множеството на всички точки Р така че PQ = b.

Кривата е като на фигурите по-долу сътветно когато b > a или съответно b < a. Ако b = a, кривата е кардиоид.

CISSOID на Диоклес

Уравнение в квадратни координати: y² = x³/(2a - x)

Параметрични уравнения:

Това е крива описана от точка Р така, че разстоянието ОР = разстоянието RS. Използвано е при проблема с дупликиране на куб, т.е. намиране на страната на куб, който има два пъти по-голям обем от даден куб.

Спирала на Архимед

Полярно уравнение: r = aθ