МенюМатрични уравнения
Автор: Каталин Дейвид
AX = B, където A е обратима
Тъй като матричното умножение не винаги е комутативно, умножаваме отляво и двата члена на уравнението с $A^{-1}$.
$A^{-1}\cdot|A\cdot X = B$
$A^{-1}\cdot A\cdot X = A^{-1}\cdot B$
$I_{n}\cdot X = A^{-1}\cdot B$
Общата форма на решението на уравнението е:
$\color{red}{X =A^{-1}\cdot B}$
Пример 50
Решете уравнението
$\begin{pmatrix}
1 & 3\\
2 & 5
\end{pmatrix}\cdot X
\begin{pmatrix}
3 & 5\\
2 & 1
\end{pmatrix}$
Проверяваме дали първата матрица е обратима.
$\left|A\right|=5-6=-1\neq 0$, така че матрицата е обратима.
Умножаваме отляво с нейната обратна матрица.
$\begin{pmatrix}
1 & 3\\
2 & 5\\
\end{pmatrix}^{-1}\cdot
\begin{pmatrix}
1 & 3\\
2 & 5
\end{pmatrix}\cdot
X=
\begin{pmatrix}
1 & 3\\
2 & 5
\end{pmatrix}^{-1}\cdot
\begin{pmatrix}
3 & 5\\
2 & 1
\end{pmatrix}$
$I_{2}\cdot X = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}\cdot \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}\cdot \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}\rightarrow X= \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -9 & -22\\ 4 & 9 \end{pmatrix}$
XA = B, където A е обратима
Тъй като матричното умножение не винаги е комутативно, умножаваме отдясно и двата члена на уравнението с $A^{-1}$.
$X\cdot A = B |\cdot A^{-1}$
$X\cdot A\cdot A^{-1} = B\cdot A^{-1}$
$X \cdot I_{n} =B\cdot A^{-1}$
Общата форма на решението на уравнението е:
$\color{red}{X =B\cdot A^{-1}}$
Пример 51
Решете уравнението
$X \begin{pmatrix}
1 & 3\\
2 & 5\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
3 & 5\\
2 & 1\\
\end{pmatrix}$
Проверяваме дали първата матрица е обратима.
$\left|A\right|=5-6=-1\neq 0$, така че матрицата е обратима.
Умножаваме отдясно с нейната обратна матрица.
$X
\begin{pmatrix}
1 & 3\\
2 & 5
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
1 & 3\\
2 & 5
\end{pmatrix}^{-1}=
\begin{pmatrix}
3 & 5\\
2 & 1
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}
1 & 3\\
2 & 5
\end{pmatrix}^{-1}$
$X\cdot I_{2}= \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}$
$X=\begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}$
$\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}\rightarrow X= \begin{pmatrix} 3 & 5\\ 2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -5 & 4\\ -8 & 5 \end{pmatrix}$
