МенюРанг на матрица
Автор: Каталин Дейвид
Рангът на матрица с m реда и n колони е число r със следните свойства:
- r е по-малко или равно на най-малкото от числата m и n.
- r е равно на реда на най-големия минор на матрицата, който не е равен на 0.
Определяне на ранга на матрица
- Избираме елемент от матрицата, който не е равен на 0.
- Изчисляваме минорите от ред 2, които съдържат този елемент, докато намерим минор, който не е равен на 0.
- Ако всеки минор от ред 2 е 0, тогава рангът на матрицата е 1.
- Ако има минор от ред 2, който не е равен на 0, изчисляваме минорите от ред 3, които съдържат предишния минор, докато намерим такъв, който не е равен на 0.
- Ако всеки минор от ред 3 е 0, тогава рангът на матрицата е 2.
- Ако има минор от ред 3, който не е равен на 0, изчисляваме минорите от ред 4, докато намерим такъв, който не е равен на 0.
- Продължаваме така, докато стигнем до минори с ред, равен на най-малкото от числото на редовете и числото на колоните.
Пример 42
$A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4\\
3 & 6 & 5
\end{pmatrix}$
Матрицата има 2 реда и 3 колони, така че най-голямата възможна стойност на нейния ранг е 2. Избираме произволен елемент, който не е равен на 0.
$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & 2 & 4\\ 3 & 6 & 5 \end{pmatrix}$
Образуваме минор от ред 2, който съдържа 1.
$\begin{pmatrix}
\color{red}{1} & \color{red}{2} & 4\\
\color{red}{3} & \color{red}{6} & 5
\end{pmatrix}$
Изчисляваме този минор.
$\begin{vmatrix}
\color{red}{1} & \color{red}{2}\\
\color{red}{3} & \color{red}{6}
\end{vmatrix}=6 - 6 = 0$
Образуваме друг минор от ред 3, който съдържа 1.
$A=\begin{pmatrix}
\color{blue}{1} & 2 & \color{blue}{4}\\
\color{blue}{3} & 6 & \color{blue}{5}
\end{pmatrix}$
Изчисляваме този минор.
$\begin{vmatrix}
\color{blue}{1} & \color{blue}{4}\\
\color{blue}{3} & \color{blue}{5}
\end{vmatrix}= 5 - 12 = -7 \neq 0.$
Рангът е 2.
Пример 43
$B=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
\end{pmatrix}$
Избираме елемент, който не е равен на 0.
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
1 & \color{red}{1} & 1
\end{pmatrix}$
Изчисляваме минори от ред 2, които съдържат този елемент. $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ \color{red}{1} & \color{red}{1} & 1\\ \color{red}{1} & \color{red}{1} & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{1} \\ \color{red}{1} & \color{red}{1} \end{vmatrix}=0 $ (защото има 2 еднакви реда)
Всеки друг минор от ред 2 е 0, защото е същият като останалите. В този случай рангът на матрицата е 1.
Пример 44
$B=\begin{pmatrix}
3 & 8 & 2\\
2 & 1 & 1\\
5 & 3 & 4\\
7 & 4 & 5
\end{pmatrix}$
Матрицата има 4 реда и 3 колони, така че най-голямата възможна стойност на нейния ранг е 3.
Избираме елемент, който не е равен на 0.
$\begin{pmatrix}
3 & 8 & 2\\
2 & 1 & 1\\
5 & 3 & \color{red}{4}\\
7 & 4 & 5
\end{pmatrix}$
Изчисляваме минор от ред 2, който съдържа 4.
$ \begin{pmatrix}
3 & 8 & 2\\
2 & \color{red}{1} & \color{red}{1}\\
5 & \color{red}{3} & \color{red}{4}\\
7 & 4 & 5
\end{pmatrix}$
$\begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{1}\\ \color{red}{3} & \color{red}{4}\\ \end{vmatrix} = 4 - 3 = 1$
Образуваме минор от ред 3, който съдържа предишния минор.
$\begin{pmatrix}
3 & 8 & 2\\
\color{red}{2} & \color{red}{1} & \color{red}{1}\\
\color{red}{5} & \color{red}{3} & \color{red}{4}\\
\color{red}{7} & \color{red}{4} & \color{red}{5}
\end{pmatrix}$
Изчисляваме този минор.
$\begin{pmatrix}
\color{red}{2} & \color{red}{1} & \color{red}{1}\\
\color{red}{5} & \color{red}{3} & \color{red}{4}\\
\color{red}{7} & \color{red}{4} & \color{red}{5}
\end{pmatrix}=0 $ защото ред 1 + ред 2 = ред 3
Изчисляваме друг минор от ред 3, който съдържа предишния минор.
$\begin{pmatrix}
\color{blue}{3} & \color{blue}{8} & \color{blue}{2}\\
\color{blue}{2} & \color{blue}{1} & \color{blue}{1}\\
\color{blue}{5} & \color{blue}{3} & \color{blue}{4}\\
7 & 4 & 5
\end{pmatrix}$
$\begin{vmatrix}
\color{blue}{3} & \color{blue}{8} & \color{blue}{2}\\
\color{blue}{2} & \color{blue}{1} & \color{blue}{1}\\
\color{blue}{5} & \color{blue}{3} & \color{blue}{4}
\end{vmatrix} =$ $12 + 12 +40 -10 -9 -64 =-19 \neq 0 $
Рангът на матрицата е 3.
Пример 45
$D=\begin{pmatrix}
1 & 5 & 1 & 6\\
2 & 3 & 2 & 5\\
6 & 1 & 6 & 7
\end{pmatrix}$
D е матрица с 3 реда и 4 колони, така че най-голямата възможна стойност на ранга е 3.
Избираме елемент, който не е равен на 0.
$\begin{pmatrix}
1 & \color{red}{5} & 1 & 6\\
2 & 3 & 2 & 5\\
6 & 1 & 6 & 7
\end{pmatrix}$
Образуваме минор от ред 2, който съдържа 5.
$\begin{pmatrix}
\color{red}{1} & \color{red}{5} & 1 & 6\\
\color{red}{2} & \color{red}{3} & 2 & 5\\
6 & 1 & 6 & 7
\end{pmatrix}$
$\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 2 & 3 \end{vmatrix}= 3 - 10 = -7 \neq 0$
Образуваме минор от ред 3, който съдържа предишния минор.
$\begin{pmatrix}
\color{red}{1} & \color{red}{5} & \color{red}{1} & 6\\
\color{red}{2} & \color{red}{3} & \color{red}{2} & 5\\
\color{red}{6} & \color{red}{1} & \color{red}{6} & 7
\end{pmatrix}$
$\begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{5} & \color{red}{1}\\ \color{red}{2} & \color{red}{3} & \color{red}{2}\\ \color{red}{6} & \color{red}{1} & \color{red}{6} \end{vmatrix} = 0 $ (защото има 2 еднакви колони)
В този случай образуваме друг минор от ред 3, който съдържа минор от ред 2, който не е равен на 0.
$\begin{pmatrix}
\color{blue}{1} & \color{blue}{5} & 1 & \color{blue}{6}\\
\color{blue}{2} & \color{blue}{3} & 2 & \color{blue}{5}\\
\color{blue}{6} & \color{blue}{1} & 6 & \color{blue}{7}
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} \color{blue}{1} & \color{blue}{5} & \color{blue}{6}\\ \color{blue}{2} & \color{blue}{3} & \color{blue}{5}\\ \color{blue}{6} & \color{blue}{1} & \color{blue}{7} \end{pmatrix} = 0 $ защото $ K_{1} + K_{2}=K_{3}$ (колона 1 + колона 2 = колона 3)
Тъй като всички минори от ред 3 са 0, рангът на матрица D е 2.
