Уравнения от степен 3 и 4

Кубично уравнение x³ + a₁x² + a₂x + a₃ = 0

Нека $Q = \frac{3a_2 - a_1^2}{9}$

$R = \frac{9a_1a_2 - 27a_3 - 2a_1^3}{54}$

$S = \sqrt[3]{R+\sqrt{Q^3+R^2}}$

$T = \sqrt[3]{R-\sqrt{Q^3+R^2}}$

Решения:
$\begin{cases}x_1 = S + T - \frac{1}{3}a_1 \\ x_2 = -\frac{1}{2}(S+T) - \frac{1}{3}a_1+\frac{1}{2}i\sqrt{3}(S-T) \\ x_3 = -\frac{1}{2}(S + T) - \frac{1}{3}a_1-\frac{1}{2}i\sqrt{3}(S-T) \end{cases}$

Ако a₁, a₂, a₃ са реални и ако D = Q³ + R² е дискриминанта, тогава
(i)     1 реален корен и 2 комплексно спрегнати ако D > 0
(ii)     всички корени са реални и поне 2 от тях са рарни D = 0
(iii)     всички корени са реални и различни ако D < 0.
Ако D < 0, изчисленията се улесняват използвайки тригонометрията.

Решения, ако D < 0 :
$\begin{cases} x_1 = 2 \sqrt{-Q} \cos \left( \frac{1}{3} \theta \right) \\ x_2 = 2 \sqrt{-Q} \cos \left( \frac{1}{3} \theta + 120^{\circ} \right) \\ x_3 = 2 \sqrt{-Q} \cos \left( \frac{1}{3} \theta + 240^{\circ} \right) \end{cases}$

където $\cos \theta = -\frac{R}{\sqrt{-Q^3}}$

            x₁ + x₂ + x₃ = -a₁,      x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁ = a₂,      x₁x₂x₃ = - a₃
където x₁, x₂ , x₃ са 3 реални корена.

Уравнение от степен 4
x⁴ + a₁x³ + a₂x² + a₃x + a₄ = 0.

Нека $y_1$ е реален корен на кубичното уравнение
(1)   $y^3 - a_2y^2 + (a_1a_3 - 4a_4)y + (4a_2a_4 - a_3^2 - a_1^2a_4) = 0$

Решения:    Корените на:
$z^2+\frac{1}{2}(a_1 \pm \sqrt{a_1^2-4a_2+4y_1})z+\frac{1}{2}(y_1 \pm \sqrt{y_1^2 - 4a_4})=0$

Ако всички корени на (1) са реални, изчисляването се опростява с помощта на този конкретен реален корен, който произвежда всички реални коефициенти в квадратното уравнение.

където x₁,x₂,x₃,x₄ са четирите реални корена.