Задачи от формули на Виет - трудни задачи с решения

Решение:
Първо ще изразим [tex]x_1^2+x_2^2[/tex] чрез елементарните симетрични полиноми:

[tex]x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2[/tex].

От формулите на Виет имаме [tex]x_1+x_2=-5[/tex] and [tex]x_1x_2=-3[/tex].

Заместваме в израза, за да получим [tex]x_1^2+x_2^2=(-5)^2-2.(-3)=25+6=31[/tex].

Решение:
Първо ще изразим [tex]x_1^2+x_2^2[/tex] чрез елементарните симетрични полиноми:

[tex]x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2[/tex].

От формулите на Виет имаме [tex]x_1+x_2=-11[/tex] и [tex]x_1x_2=12[/tex].

Заместваме в израза, за да получим [tex]x_1^2+x_2^2=(-11)^2-2.12=121-94=97[/tex].

Решение:
[tex]\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}[/tex].

От формулите на Виет знаеме, че [tex]x_1+x_2=-9[/tex], [tex]x_1x_2=33[/tex].

Заместваме с тези стойности: [tex]\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-9}{33}=-\frac{3}{11}[/tex]

Решение:
Пренаписваме и изразяваме израза чрез елементарните симетрични полиноми:

[tex](x_1^3+x_2^3)+(x_1^2+x_2^2)+(x_1+x_2)=(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2-x_1x_2)+(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2)+(x_1+x_2) = (x_1+x_2)(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-3x_1x_2)+(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+(x_1+x_2)=(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)+(x_1+x_2)^2+(x_1+x_2)-2x_1x_2[/tex].

От формулите на Виет знаем, че [tex]x_1+x_2=8[/tex] and [tex]x_2x_2=11[/tex].

Заместваме: [tex]8(8^2-3.11)+8^2+8-2.11=8(64-33)+64+8-22=8.31+50=8.31+8.6 +2=8.37 + 2=298[/tex]

Решение:
Ще използваме следното тъждество: [tex]|a|=\sqrt{a^2}[/tex].

Чрез него достигаме до [tex]|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{x_1^2-2x_1x_2+x_2^2}=\sqrt{x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-4x_1x_2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}[/tex].

Тогава използваме формулите на Виет и заместваме в израза: [tex]x_1+x_2=15[/tex], [tex]x_1x_2=36[/tex].

Резултатът е [tex]\sqrt{15^2-4.36}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9[/tex]

Решение:
Разкриваме скобите и изразяваме чрез елементарните симетрични полиноми: [tex]x_1-x_1^2+x_2-x_2^2=x_1+x_2-(x_1^2+x_2^2)=x_1+x_2-(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2)=x_1+x_2-((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)=(x_1+x_2)-(x_1+x_2)^2+2x_1x_2=(x_1+x_2)(1-(x_1+x_2))+2x_1x_2[/tex].

От формулите на Виет знаем, че [tex]x_1+x_2=12[/tex] и [tex]x_1x_2=19[/tex].

Заместваме и получаваме [tex]12(1-12)+2.19=-12.11+38=-132+38=-94[/tex]

Решение:
Разкриваме скобите, за да представим израза чрез елементарните симетрични полиноми:

[tex]x_1^2-2x_1\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_1^2}+x_2^2-2x_2\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_2^2}=x_1^2+x_2^2+\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}-4=x_1^2+x_2^2+\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1x_2)^2}-4=(x_1^2+x_2^2)(1+\frac{1}{(x_1x_2)^2})-4=((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)(1+\frac{1}{(x_1x_2)^2})-4[/tex].

От формулите на Виет имаме [tex]x_1+x_2=4[/tex] и [tex]x_1x_2=1[/tex].

Заместваме, за да получим крайният резултат: [tex](4^2-2)(1+1)-4=(16-2).2-4=28-4=24[/tex]

Решение:
От формулите на Виет имаме [tex]x_1x_2=a^2-2a+1=(a-1)^2[/tex]. Точният квадрат [tex](a-1)^2 \ge 0[/tex], като равенство се достига при [tex]a=1[/tex]. Следователно минималната стойност е 0 и се достига при [tex]a=1[/tex].