Задачи от логаритмични уравнения - трудни задачи с решения

Решение:
Изразът в скобите е винаги положителен: [tex](3^x)^2-3^x+1=(3^x-1)^2+3^x>0[/tex], следователно уравнението е определено за всяко x.
Антилогаритмуваме двете страни при основа 3:
[tex]3^{2x}-3^x+1=3^x[/tex]
[tex]3^{2x}-2.3^x+1=0[/tex]
[tex](3^x-1)^2=0[/tex]
[tex]3^x=1[/tex]
[tex]x=0[/tex]

Решение:
Антилогаритмуваме двете страни:
[tex]3x+1=16^2[/tex]
[tex]3x+1=256[/tex]
[tex]3x=255[/tex]
[tex]x=85[/tex]

Решение:
Уравнението е определено за всяко x, тъй като [tex]2^x>0[/tex]. [tex]log_4(2^x)=x.log_42=\frac{x}{2}[/tex]
[tex]\frac{x}{2}=5x+3[/tex]
[tex]x=10x+6[/tex]
[tex]x=-\frac{2}{3}[/tex]

Решение:
[tex]log_7(x-1)^3=6[/tex]. За да е дефинирано уравнението, трябва да е изпълнено условието [tex]x-1>0[/tex].
[tex]3log_7(x-1)=6[/tex]
[tex]log_7(x-1)=2[/tex]
[tex]x-1=7^2=49[/tex]
[tex]x=50[/tex]

Решение:
За да е смислено уравнението, трябва да е изпълнено [tex]x>0[/tex]. Нека разгледаме отделно случая [tex]x = 1[/tex]. Тогава [tex]log_5x+log_3x=log_51+log_31=0+0=0[/tex], което удовлетворява уравнението и [tex]x=1[/tex] е решение.
Нека [tex]x \ne 1[/tex]. Знаем, че
[tex]log_5x+log_3x=\frac{1}{log_x5}+\frac{1}{log_x3}=0[/tex]
[tex]log_x3+log_x5=0[/tex]
[tex]log_x(3.5)=0[/tex]
[tex]log_x15=0[/tex]
[tex]15=x^0=1[/tex], което е невъзможно, откъдето [tex]x=1[/tex] е единственото решение.

Решение:
Уравнението е определено за стойности на x, които удовлетворяват системата:
[tex]\begin{array}{|l}8x>0\\7x+3 \ne 0\\lg|7x+3| \ne 0\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}x>0\\7x+3 \ne \pm 1\end{array}[/tex], но [tex]7x+3 > 3[/tex] следва от x>0, така че цялата система е еквивалентна на x>0.
Освен това, от x>0 следва, че 7x+3>0 и |7x+3|=7x+3
Уравнението добива вида
lg8x=lg(7x+3)
8x=7x+3
x=3

Решение:
Уравнението е определено за x>0.
[tex]log_5x-log_{25}x+log_{\sqrt{5}}x=log_5x-log_{5^2}x+log_{5^{\frac{1}{2}}}x=log_5x-\frac{1}{2}log_5x+2log_5x=\frac{5}{2}log_5x[/tex]
[tex]\frac{5}{2}log_5x=-5[/tex]
[tex]log_5x=-5.\frac{2}{5}=-2[/tex]
[tex]x=5^{-2}=\frac{1}{25}[/tex]

Решение:
Уравнението е определено при условията [tex]3-x>0[/tex] и [tex]28-3^x>0[/tex]. Първото е еквивалентно на x<3, а отту следва [s]28-3^x > 28-3³=28-27=1>0[/s].
Уравнението добива вида
[tex]log_3(28-3^x)=3-x[/tex]
[tex]28-3^x=3^{3-x}[/tex]
[tex]28-3^x=\frac{27}{3^x}[/tex]
[tex]28.3^x-3^{2x}=27[/tex]
[tex]3^{2x}-28.3^x+27=0[/tex]
[tex]3^{2x}-27.3^x-3^x+27=0[/tex]
[tex]3^x(3^x-27)-(3^x-27)=0[/tex]
[tex](3^x-1)(3^x-27)=0[/tex]. От x<3, [s]x=3 (3^x=27)[/s] не е корен на уравнението, следователно единственият корен идва от [s]3^x=1[/s], или x=0.