Тригонометрични функции - sin, cos, tg, cotg - много трудни задачи с решения

Решение:
От условието [tex]x+y+z=\pi[/tex] следва, че [tex]{\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}}={\frac{\pi}{2}}-{\frac{z}{2}}; {\frac{z}{2}}={\frac{\pi}{2}}-({\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}})[/tex] => [tex]cotg\alpha={\frac{1}{tan\alpha}}[/tex], следует, что [tex]cotg\alpha={\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}[/tex]. Следователно [tex]cotg{\frac{x}{2}}+cotg{\frac{y}{2}}+cotg{\frac{z}{2}}={\frac{cos{\frac{x}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{y}{2}}}{sin{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}={\frac{cos{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}+cos{\frac{y}{2}}sin{\frac{x}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}={\frac{sin({\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}})}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}={\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}=cos{\frac{z}{2}}\cdot{\frac{sin{\frac{z}{2}}+sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}sin{\frac{z}{2}}}}={\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}\cdot{\frac{cos({\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}})+sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}}={\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}\cdot{\frac{cos{\frac{x}{2}}cos{\frac{y}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}}=cotg{\frac{x}{2}}cotg{\frac{y}{2}}cotg{\frac{z}{2}}[/tex].

Решение:
5cosA +12sinA + 12 = 13(5/13 cosA +12/13sinA) + 12
Съществува B, за което sinB = 5/13 и cosB = 12/13, тъй като sin^2B + cos^2B = 1.
13(sinBcosA +cosBsinA) + 12 =13(sin(A+B))+12.
Знаем, че най-малката стойност на sin(x) е sin(x) = -1, а най-голямата е 1. Най-голямата стойност на израза е когато sin(A+B) = 1 тогава стойността на израза е
13.1 + 12 = 25

Решение:
5cosA +12sinA + 12 = 13(5/13 cosA +12/13sinA) + 12
Съществува B, за което sinB = 5/13 и cosB = 12/13, тъй като sin^2B + cos^2B = 1.
13(sinBcosA +cosBsinA) + 12 =13(sin(A+B))+12.
Знаем, че най-малката стойност на sin(x) е sin(x) = -1, а най-голямата е 1. Най-малката стойност на израза е когато sin(A+B) = -1 тогава стойността на израза е
13 . (-1) + 12 = -13 + 12 = -1.