Задачи от числови редици - много трудни задачи с решения

Решение:
Дадено:

$a_n + a_{n-1} = 2^n,\quad a_1 = 1,; a_2 = 1$

Преписваме така:
$a_n = 2^n - a_{n-1}$

Изчисляваме последователно:

$a_3 = 2^3 - a_2 = 8 - 1 = 7$
$a_4 = 2^4 - a_3 = 16 - 7 = 9$
$a_5 = 2^5 - a_4 = 32 - 9 = 23$
$a_6 = 2^6 - a_5 = 64 - 23 = 41$
$a_7 = 2^7 - a_6 = 128 - 41 = 87$
$a_8 = 2^8 - a_7 = 256 - 87 = 169$
$a_9 = 2^9 - a_8 = 512 - 169 = 343$
$a_{10} = 2^{10} - a_9 = 1024 - 343 = 681$
$a_{11} = 2^{11} - a_{10} = 2048 - 681 = 1367$

Отговор:
$a_{11} = 1367$

Решение:
Рекурентната връзка може да се запише като
[tex]a_{n+1}.a_n=a_n^2+1[/tex]
[tex]a_{n+1}=\frac{1}{a_n}+a_n[/tex]
[tex]a_{n+1}-a_n=\frac{1}{a_n}[/tex].
Достатъчно е да се докаже, че [tex]a_n>0[/tex] за всяко n. Ще го направим, използвайки апарата на математическата индукция.
За [tex]n=1[/tex]: [tex]a_1=1>0[/tex]
За [tex]n=2[/tex]: [tex]a_2=a_1+\frac{1}{a_1}=1+1=2>0[/tex]
Нека предположим, че това е вярно за [tex]n=k[/tex], където k е произволно естествено число. [tex]a_{k+1}=a_k+\frac{1}{a_k}[/tex], което като сума на две положителни величини е положително. Следователно [tex]a_n > 0[/tex] за всяко [tex]n[/tex].
[tex]a_{n+1}-a_n=\frac{1}{a_n}>0[/tex] за всяко [tex]n[/tex], следователно редицата е растяща.