Задачи от косинусова теорема - трудни задачи с решения

Решение:
От косинусова теорема получаваме [tex]AB^2=AC^2+BC^2-2.AC.BC.\cos\angle ACB[/tex]. Замествайки AC, BC и ъгъла с техните стойности: [tex]AB^2=13^2+18^2-2.13.18.\cos(60^{\circ})[/tex], or [tex]AB^2=169+324-2.234.\frac{1}{2}[/tex]. След извършването на аритметичните действия от дясната страна, получаваме [tex]AB^2=259[/tex].

Решение:
От косинусова теорема за триъгълник ABC имаме [tex]AB^2=AC^2+BC^2-2AC.BC.\cos(\angle ACB)[/tex]. Пренареждаме събираемите в следния вид: [tex]2AC.BC.\cos(\angle ACB)=AC^2+BC^2-AB^2[/tex]. Делим двете страни на 2AC.BC и получаваме [tex]\cos(\angle ACB)=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2AC.BC}=\frac{12^2+13^2-14^2}{2.12.13}=\frac{144+169-196}{2.12.13}=\frac{117}{8.13.3}=\frac{3.3.13}{8.3.13}=\frac{3}{8}[/tex]

Решение:
От косинусова теорема за триъгълник ABC имаме [tex]AB^2=AC^2+BC^2-2AC.BC.\cos(\angle ACB)[/tex]. Пренареждаме събираемите в следния вид: [tex]2AC.BC.\cos(\angle ACB)=AC^2+BC^2-AB^2[/tex]. Делим двете страни на [tex]2AC.BC[/tex] и получаваме [tex]\cos(\angle ACB)=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2AC.BC}=\frac{7^2+15^2-18^2}{2.7.15}=\frac{49+225-324}{2.7.3.5}=\frac{-50}{21.10}=-\frac{5}{21}[/tex]

Решение:
От косинусова теорема за триъгълник ABC имаме [tex]AB^2=AC^2+BC^2-2AC.BC.\cos(\angle ACB)[/tex]. Пренареждаме събираемите в следния вид: [tex]2AC.BC.\cos(\angle ACB)=AC^2+BC^2-AB^2[/tex]. Делим двете страни на 2AC.BC и получаваме [tex]\cos(\angle ACB)=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2AC.BC}=\frac{14^2+17^2-20^2}{2.14.17}=\frac{196+289-400}{28.17}=\frac{85}{28.17}=\frac{5}{28}[/tex].

Решение:
От косинусова теорема за триъгълник ABC имаме [tex]AB^2=AC^2+BC^2-2AC.BC.\cos(\angle ACB)[/tex]. Пренареждаме събираемите в следния вид: [tex]2AC.BC.\cos(\angle ACB)=AC^2+BC^2-AB^2[/tex]. Делим двете страни на 2AC.BC и получаваме [tex]\cos(\angle ACB)=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2AC.BC}=\frac{13^2+16^2-21^2}{2.13.16}=\frac{169+256-441}{26.16}=\frac{-16}{26.16}=-\frac{1}{26}[/tex].

Решение:
От косинусова теорема за триъгълник [tex]ABC[/tex] имаме [tex]AB^2=AC^2+BC^2-2AC.BC.\cos(\angle ACB)[/tex]. И така получаваме уравнението [tex]49=64+BC^2-8BC[/tex] или [tex]BC^2-8BC+15=0[/tex]. Оттук намираме [tex]BC=3>0[/tex] и [tex]BC=5>0[/tex]. И в двата случая съществува триъгълник [tex]ABC[/tex], следователно и двете решения са валидни. Да видим сега за коя стойност на [tex]BC[/tex] триъгълник [tex]ABC[/tex] е остроъгълен.

Нека [tex]BC=3[/tex]. Взимаме ъгъла срещу най-голямата страна на триъгълника, а именно [tex]\angle ABC[/tex] и с косинусова теорема ще проверим дали той е тъп или е остър. Имаме [tex]AC^2=AB^2+BC^2-2AB.BC.\cos(\angle ABC)[/tex], откъдето [tex]-2.7.3.\cos(\angle ABC)=64-49-9>0[/tex] и значи [tex]\cos(\angle ABC)<0[/tex]. Това означава, че за [tex]BC=3[/tex] [tex]\angle ABC>90^\circ[/tex].

Сега пробваме с [tex]BC=5[/tex]. Отново прилагаме косинусова теорема: [tex]64=49+25-2.7.5\cos(\angle ABC)[/tex]. Виждаме, че [tex]-2.7.5\cos(\angle ABC)=64-49-25<0[/tex], следователно [tex]\cos(\angle ABC)>0[/tex] и [tex]\angle ABC<90^\circ[/tex]. Окончателно за [tex]BC=5[/tex] триъгълникът е остроъгълен